Quando uma coroa de massa 14,7   k g é submersa em água, uma balança acurada registra uma massa de 13,4 k g (ver figura). A tabela abaixo mostra as massas específicas de vários metais.

g = 10   m / s 2

ρ á g u a = 10 3   k g / m 3

  1. Em cada caso da figura, faça um diagrama de forças que atuam-na coroa.
  2. Calcule a massa específica média da coroa   ( ρ c ) e verifique se ela é de ouro maciço.
  3. Caso a coroa tenha sido confeccionada em prata com banho de ouro, calcule a razão entre as massas de ouro e de prata m A u m A g e obtenha a porcentagem de ouro na coroa.

Passo 1

a):

Como você pode ver, na primeira figura não há empuxo, já que não há fluido. Assim, a tensão na corda é maior. Já na segunda a tensão é menor me módulo porque existe o empuxo.

Passo 2

b):

Bom galera, a massa específica da coroa é calculada por:

ρ c = m c V C

Sendo que a primeira figura nos dá a massa da coroa, né? Ela vale:

m c = 14,7   k g

Beleza. Precisamos descobrir o volume. Como faremos?

Vamos usar o empuxo, já que a é a única coisa que muda no sistema da segunda figura. Na segunda figura, a segunda lei de Newton nos dá:

T + E = P

E o peso a gente sabe calcular facilmente por:

P = m c . g = 147   N

A tensão é dada pela massa da balança vezes a gravidade:

T = 13,4.10 = 134   N

Então:

T + E = P

E = P - T = 147 - 134 = 13   N

Então, usando a fórmula do empuxo:

E = ρ á g u a V g

13 = 10 3 . V . 10 → V = 13 . 10 - 4   m 3

Então :

ρ c = m c V c = 14,7 13 x 10 - 4 ≅ 11,3 . 10 3   k g / m 3

Não é ouro maciço!

Passo 3

c):

Bom galera, o caminho pra resolver isso é meio trabalhoso, mas é fácil de se entender. Vamos lá

A massa específica ρ c pode ser escrita como:

ρ c = m A u + m A g V A u + V A g

Ou seja, é a massa de ouro mais a massa de prata divididas pelos volumes de prata mais o volume de ouro.

Que também pode escrita como:

ρ c = m A u + m A g m A u ρ A u + m A g ρ A g

Já que a massa dividida pela sua massa específica nos dá o volume.

Show!Essa vai ser nossa primeira equação. Nossa segunda equação será:

m A u + m A g = m

m É a massa total da coroa.

Então temos o sistema( já colocando os valores):

m A u + m A g = 14,7

m A u + m A g m A u 19,29 + m A g 10,49 = 11,3 x 10 3

Resolvendo esse sistema:

m A u = 2,31   k g

m A g = 12,39   k g

Então o percentual de ouro na prata é:

m A u m A g = 2,31 12,39 ≅ 0,184 = 18,4 %

E o percentual de ouro em relação à massa total é:

m A u m = 2,31 14,7 ≅ 0,157 = 15,7   %

Resposta

a):

b):

ρ c ≅ 11,3 x 10 3   k g / m 3

c):

0,184 = 18,4 %

0,157 = 15,7   %

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