Um bloco cúbico homogêneo de aresta a flutua em repouso na interface entre dois fluidos incompressíveis de densidades ρ 1 e ρ 2 > ρ 1 , como mostra a figura abaixo. Considere o módulo da aceleração da gravidade igual a g (suposto constante).

a Calcule o empuxo E que o bloco sofre.

b Calcule a densidade do bloco ρ b .

Passo 1

Letra a : Primeiramente, vamos lembrar o que é o empuxo.

O empuxo (denotado por E ) é a força que aparece em um corpo submerso devido ao fluido em que está submerso. O empuxo é a resultante das forças que aparecem no corpo devido à diferença de pressão que atua nas diferentes partes do corpo em questão.

Assim, para resolver este item, devemos calcular a resultante das forças empregadas pelos fluidos.

ATENÇÃO!! Note que não estamos calculando todas as forças sobre o cubo (ainda falta a força peso). O empuxo é a resultante somente devido ao fluido.

Passo 2

Para o nosso caso, as forças que atuam sobre o cubo são horizontais (força nas paredes laterais) e verticais (forças na parte superior e inferior). Veja a figura.

Como o bloco está flutuando, podemos considerá-lo em repouso. Assim, as forças laterais se cancelam e podemos dizer que o empuxo é dado pela diferença entre a força que atua na parte inferior ( F i ) e a força que atua na parte superior F s , isto é,

E → = F → i   - F → s

E → = F → i   - F → s  

pois   F → i e   F → s estão na mesma direção. Como veremos, F → i   > F → s     devido a pressão nas partes superior e inferior. Agora precisamos calcular os módulos das forças F → i   e F → s   .

Passo 3

O módulo da força F → s   que atua na parte superior do cubo é dado por F → s   = p s × a 2

sendo p s a pressão na parte superior do cubo, isto é, a pressão a profundidade de   h s da superfície. Veja a figura.

Podemos determinar p s a partir da lei de Stevin. Assim,

p s = p 0 + ρ 1 g h s

p s = p 0 + ρ 1 g d - a 2  

com p 0 a pressão atmosférica.

Assim, temos que F → s   = p s × a 2

F → s   = p 0 + ρ 1 g d - a 2 × a 2

Vamos calcular agora F → i   . Sabemos que F → i   é dada por

F → i   = p i × a 2

sendo p i a pressão na parte inferior do cubo, isto é, a pressão a profundidade de   h i da superfície. Veja a figura.

Podemos determinar p i a partir da lei de Stevin. Assim,

p i = p 0 + ρ 1 g d + ρ 2 g a 2

Note que a pressão tem contribuição dos dois fluidos.

Assim, temos que F → i   = p i × a 2

F → i   = p 0 + ρ 1 g d + ρ 2 g a 2 × a 2 Portanto, o módulo do empuxo   E → é dado por E → = F → i   - F → s  

E → = p 0 + ρ 1 g d + ρ 2 g a 2 × a 2 - p 0 + ρ 1 g d - a 2 × a 2

E → = ρ 1 + ρ 2 2   g   a 3

Passo 4

Letra b : Para calcular a densidade do cubo, utilizaremos o fato do mesmo estar flutuando. Como o cubo está em repouso, então a resultante de TODAS as forças sobre ele (lembre que as forças laterais se anulam) é E → - P → = 0

P → = E →

sendo   P → a força peso sobre o cubo.

Passo 5

Sabemos que cubo é homogêneo. Assim, sua massa m se relaciona com sua densidade ρ b por m = ρ b V = ρ b × a 3

Logo,

P → = E →

m g =   ρ 1 + ρ 2 2   g   a 3

ρ b   a 3   g =   ρ 1 + ρ 2 2   g   a 3

ρ b = ρ 1 +   ρ 2 2

Resposta

a   E → = ρ 1 +   ρ 2 2   g   a 3

b   ρ b = ρ 1 +   ρ 2 2

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