Um bloco maciço de volume V e densidade ρ C é mantido submerso num líquido de densidade ρ L uniforme ρ L ≥ ρ C por meio de um cabo (vide a figura abaixo). É dado o módulo da aceleração gravitacional g . Observação: i → e j → são os vetores unitários na horizontal e vertical, conforme indicado na figura. Resposta aos itens abaixo, em função dos dados:

  1. Suponha neste item que o recipiente contém liquido e o bloco esteja em repouso em um referencial inercial.
    1. Qual o empuxo E → 0 que o liquido faz sobre o bloco?
    2. Determine a tensão T → 0 que o cabo exerce sobre o bloco a partir da 2ª Lei de Newton.
  • Suponha neste item que o recipiente esteja sujeito a uma aceleração a → = a j → , a > 0 .
    1. Deduza o empuxo E → que o líquido faz sobre o bloco, explicando o cálculo da diferença de pressão entre as superfícies inferior e superior do objeto e aplicando a 2ª Lei de Newton
    2. Obtenha a tensão T → que o cabo exerce sobre o bloco a parti da 2ª Lei de Newton em termos dos dados e dos módulos de T → 0 , a → e g →
  • Passo 1

    a)

    a1)

    O empuxo vai ser dado por:

    E → 0 = ρ L V g j ^

    a2)

    Pela segunda lei de Newton, vamos ter:

    F → R = T → 0 + E → 0 + P →

    Onde o empuxo nós já sabemos e o peso vai ser:

    P → = - m bloco g j ^ = - ρ c V g j

    E 0 → = + ρ L V g j ^

    A força resultante vai ser dada por:

    F → R = T → 0 + ρ L V g j ^ - ρ C V g j ^

    Como ele está em repouso, a força resultante é nula:

    T → 0 + ρ L V g j ^ - ρ C V g j ^ = 0

    T → 0 = ρ C V g - ρ L V g j ^

    T → 0 = V g ρ C - ρ L j ^

    T → 0 = - V g ρ L - ρ C j ^

    Passo 2

    b)

    b1)

    O empuxo é o resultado entre a diferença de pressão em cima e embaixo do bloco.

    Podemos ver o empuxo como a soma entre a força que a pressão abaixo do bloco faz e a força que a pressão acima do bloco faz.

    A primeira tem sentido para cima e a segunda sentido para baixo.

    Logo:

    E → = P f ⋅ A seção j → - P i ⋅ A seção j →

    E → = P f - P i ⋅ A s e ç ã o j →

    Vamos supor que a altura do bloco é h e a área da sua seção é A s e ç ã o e que ele está a uma profundidade H .

    A pressão em cima é:

    P i = P a t m + ρ L g H

    A pressão na parte mais baixa vai ser:

    P f = P a t m + ρ L g H + h

    Vamos ter:

    E → = P a t m + ρ L g H + h - P a t m - ρ L g H ⋅ A seção j →

    E → = ρ L g h ⋅ A seção j →

    E → = ρ L g h ⋅ A seção j →

    O volume do corpo é:

    V = h ⋅ A seção

    E → = ρ L g V j →

    Passo 3

    b2)

    Já vimos que:

    F → R = T → + ρ L V g j → - ρ C V g j →

    Dessa vez a força resultante vai ser:

    F → R = m bloco a j → = ρ C V a j →

    Substituindo os valores na equação das forças, vamos encontrar:

    ρ C V a j → = T → + ρ L V g j → - ρ C V g j →

    ρ C V a j → = T → + V g ρ L - ρ C j →

    Lembrando, do item a, que:

    T → 0 = - V g ρ L - ρ C j →

    O módulo de T → 0 é:

    T 0 = V g ρ L - ρ C

    T → 0 = - T 0 j →

    Logo:

    ρ C V a j → = T → + T 0 j →

    T → = ρ C V a j → - T 0 j →

    T → = ρ C V a - T 0 j →

    Resposta

    1. E → 0 = ρ L V g j →
    2. T → 0 = - V g ρ L - ρ C j →
    1. E → = ρ L g V j →
    2. T → = ρ C V a - T 0 j →

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