Um cano de comprimento L = 25,0 m aberto em uma das extremidades, contém ar à pressão atmosférica. O cano é introduzido verticalmente em um lago de água doce até que a água atinja metade da altura do tubo. Suponha temperaturas iguais para a água e para o ar em todo o processo.

  1. Determine a pressão do ar preso dentro do tubo.
  2. Determine a profundidade, h , da extremidade inferior do tubo.
  3. Sabendo que o cano flutua nessa posição e a área da seção reta é de 20,0 c m 2 , determine a massa do cano.

Dados:

P a t m = 1,013 × 10 5 P a

g = 10 m / s 2

ρ á g u a = 10 3 K g / m 3

Passo 1

Para um gás ideal temos que

P V = n R T → P V T = n R = c o n s t a n t e

Temos uma compressão isotérmica e pela figura vemos que o volume foi reduzido a metade.

Temos que antes da compressão o gás dentro do cano tem pressão P a t m , volume V i e temperatura T e depois da compressão tem pressão P f , volume V i / 2 e temperatura T . Assim

P a t m V i T = P f V i / 2 T → P f = 2 P a t m = 2 × 1,013 × 10 5

P f = 2,026 × 10 5 P a

Passo 2

Igualando a pressão da coluna de água de altura h e a pressão na interface gás/água dentro do cano temos

P a t m + ρ g d = P f → P a t m + ρ g d = 2 P a t m → d = P a t m ρ g = 1,013 × 10 5 10 3 × 10

d = 10,13 m

Pela figura podemos relacionar o comprimento L do cano e a distância d

h = L 2 + d = 25 2 + 10,13

h = 22,63   m

Passo 3

O que mantém o cano flutuando é a força de empuxo! A força de empuxo é dada por

E = ρ á g u a g V d e s l o c

Como o cano está em equilíbrio, temos que o peso do cano é igual ao empuxo

m g = ρ á g u a g V d e s l o c

m = ρ á g u a V d e s l o c

Agora precisamos calcular o volume deslocado. O volume deslocado vai ser a coluna de altura d e base com área 20,0   c m 2 (atenção que 20,0   c m 2 = 20 × 10 - 4 m 2 !!!). Então temos

V d e s l o c = 10,13 × 20 × 10 - 4

V d e s l o c = 2,0 26 × 10 - 2 m 3

E agora podemos calcular a massa do cano

m = 10 3 × 2,0 26 × 10 - 2

m = 20,26 k g

Resposta

(a) P f = 2,026 × 10 5 P a

(b) h = 22,63   m

(c) m = 20,26 k g

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