Uma esfera oca de ferro ( ρ F e = 7,90 × 10 3   k g / m 3 ) é mantida submersa em um lago de água doce ( ρ a = 1,00 × 10 3   k g / m 3 ) amarrada a uma corda presa no fundo do lago. O raio externo da esfera é igual a 0,600   m . A tensão na corda é igual a 1,00 × 10 3   N . Considere g = 10,0   m / s 2 .

a ) Desenhe o diagrama de forças que atuam sobre a esfera.

b ) Calcule a força de empuxo exercida pela água sobre a esfera.

c ) Qual é a massa da esfera?

d ) A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fração do volume que fica submersa?

e ) Calcule a espessura da casca esférica.

Passo 1

a )

Para desenhar o diagrama de forças que atuam na esfera, vamos primeiro determinar que forças são essas!

As forças que atuam na esfera são:

  • Força peso P →
  • Empuxo F E →
  • Tração da corda T →

O diagrama de forças vai ficar assim:

Passo 2

b )

Pela definição de empuxo, lembramos que ele é igual, em módulo, ao peso do volume de líquido deslocado, ficou confuso?! Se liga que a fórmula, é a seguinte:

F E = ρ f l u i d o . V i m e r s o . g

Para o caso da esfera, temos que o volume imerso é dado por:

V = 4 . π . r 3 3

V = 4 . π . 0,600 3 3 = 0,905   m 3

O empuxo fica:

F E = ρ a . V . g

F E = 1,00 × 10 3 .   0,904 .   10

F E = 9,05 × 10 3   N

Passo 3

c )

Para determinar a massa da esfera, devemos calcular através do equilíbrio. Sabemos que por estar em equilíbrio, temos a seguinte relação:

F E = P + T

P = F E - T

M . g = F E - T

M . 10 = 9,05 × 10 3 - 1,00 × 10 3

M = 8,05 × 10 2 = 805   k g

Obs: Você deve estar pensando que é mais fácil achar a massa da esfera multiplicando a densidade pelo volume...mas...não é bem assim. Por se tratar de um esfera oca, não sabemos o volume de ferro presente na casca esférica, por isso tivemos que calcular a massa através da relação de equilíbrio.

Passo 4

d )

Na nova situação de equilíbrio, não teremos mais a tração atuando, a relação de equilíbrio vai ser então:

F E ' = M . g

Onde F E ' é a nova força de empuxo.

ρ a . V ' i m e r s o . g = M . g

ρ a . V ' i m e r s o = M

O novo volume imerso vai ser:

V ' i m e r s o = M ρ a

V ' i m e r s o = 805 1,00 × 10 3 = 0,805   m 3

A fração do volume total que está submersa vai ser então:

V ' i m e r s o V = 0,805 0,905 = 0,89

Passo 5

e )

Como sabemos a massa de ferro presente na esfera, assim como a densidade do ferro e o raio externo da esfera, podemos determinar a espessura da casca esférica. Se liga!

Pela definição de densidade, temos:

ρ F e = M V F e

Onde V F e é o volume de ferro da casca esférica, seu valor é:

V F e = M ρ F e

V F e = 805 7,90 × 10 3 = 0,102   m 3

Agora que temos o volume, podemos calcular o raio interno r i n t , tendo em vista que o raio externo r e x t foi dado!

V F e = 4 . π r e x t 3 - r i n t 3 3

Substituindo os valores, temos:

0,102 = 4 . π 0,600 3 - r i n t 3 3

r i n t 3 = 0,600 3 - 0,0243

r i n t = 0,577   m

A espessura da casca é dada por:

e s p e s s u r a = r e x t - r i n t

e s p e s s u r a = 0,600 - 0,577 = 0,023   m

Resposta

a ) Ver figura acima

b ) F E = 9,05 × 10 3   N

c ) M = 805   k g

d ) V ' i m e r s o V = 0,89

e ) e s p e s s u r a = 0,023   m

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