I. Uma esfera oca de massa igual a 4,0   k g e raio r   =   0,400   m , contendo no seu interior um objeto de massa e volume desconhecidos, flutua sem afundar nas águas de um lago, com um quarto de seu volume submerso.

Dados:

ρ á g u a = 1,00 x 10 3   k g / m 3

g = 10   m / s 2

a) Determine a massa do objeto no interior da esfera.

b) Considere agora que o objeto desconhecido seja colocado diretamente na água, com velocidade inicial nula. Observa-se que o objeto afunda com uma aceleração constante de   5,0   m / s 2 . Determine o volume e a densidade do objeto.

Passo 1

a):

Bom galera, a força do empuxo vai equilibrar a massa total da esfera e do objeto. Isso é:

E = m e g + m o g

E quem é esse empuxo? O empuxo que vem do volume deslocado, um quarto do volume total:

E = ρ á g u a V d e s l o c a d o g

E = 1 x 10 3 . V 4 10

Quanto vale V ? Ele vale:

V = 4 π r 3 3 = 4 π 4 x 10 - 1 3 3

Então:

1 x 10 3 . V 4 10 = 10 m e + m o

1 x 10 3 . V 4 = m e + m o

1 x 10 3 . π 4 x 10 - 1 3 3 = 4 + m o

m o = 67 - 4 = 63,0   k g

Passo 2

b):

Bom, se ele desce com uma aceleração constante, quer dizer que o empuxo dele não consegue equiparar o seu peso.

Nesse caso, o empuxo total, que é aquele calculado pra todo o volume deslocado:

E = ρ á g u a g V

E o peso:

P = ρ o g V

Queremos descobrir V e ρ 0 .

Passo 3

Podemos escrever V a partir de ρ o ,   já que descobrimos a massa:

ρ o = m o V   → V = 63 ρ 0

Assim, usando a segunda lei de Newton:

F R = P - E

m o a = ρ o g V - ρ á g u a g V

m o a = V g ( ρ o - ρ á g u a )

Como:

a = 5 = g 2 :

m o . g 2 = g V ρ o - 1 x 10 3

m o . 1 2 = V ρ o - 1 x 10 3

m o V . 1 2 = ρ o - 1 x 10 3

ρ o = m o V

Então:

ρ o 2 = ρ o - 1 x 10 3

ρ o = 2 x 10 3 k g / m 3

Como essa é a densidade, o Volume é:

V = 63 2 x 10 3 = 31,5 x 10 - 3 m 3

Resposta

a):

m o = 63,0   k g

b):

ρ o = 2 x 10 3 k g / m 3

V = 31,5 x 10 - 3 m 3

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