A figura abaixo mostra duas bolas de mesmo raio, R = 15   c m , imersas num recipiente contendo dois fluidos de densidades diferentes, óleo e água, cujas densidades são ρ 0 = 0,92   g / c m 3 e ρ a = 1,00   g / c m 3 , respectivamente. Estas bolas estão ligadas por um fio fino de massa desprezível. A bola 1 está com metade de seu volume submerso em óleo e a outra metade em ar, e a bola 2 , que é 6 vezes mais densa que a bola 1 , está com metade de seu volume submerso em óleo e a outra metade em água. As respostas deverão ser dadas no Sistema Internacional de unidades.

g = 10 m / s 2

  1. Desenhe o diagrama de forças que atuam sobre a bola 1 e sobre a bola 2 . Despreze o empuxo do ar presente na parte superior do sistema.
  2. Encontre as densidades das bolas 1 e 2 ( ρ 1 e ρ 2 ).
  3. Encontre as massas das bolas 1 e 2 .
  4. Encontre a tração no fio.

Passo 1

a): Bom, as forças que atuam sobre cada bloco são: A tração, o peso e o empuxo.

Então:

Pra primeira bolinha (1):

Pra segunda bolinha:

Observação: A segunda bolinha está em contato com dois fluidos: A água e o óleo. Então, o empuxo que ela sofre é a soma dos empuxos dos dois fluidos. Fique atento a isso!

Passo 2

b):

Beleza, agora queremos achar a densidade de cada uma. Pra isso, como o sistema está em equilíbrio, vamos precisar montar a equação de equilíbrio das forças de cada uma:

Pra primeira:

E 1 = P 1 + T

ρ o g V 2 = m 1 g + T

Pra segunda:

P 2 = E 2 + T

m 2 g = ρ a g V 2 + ρ o g V 2 + T

Notou? O segundo empuxo vale:

E 2 = E á g u a + E ó l e o = ρ a g V 2 + ρ o g V 2

Ok, mas esse sistema ainda tem incógnitas demais. O enunciado nos diz que a segunda bola é 6 vezes mais densa que a primeira. Então, por causa dessa informação, vale a pena reescrever o sistema passando a descrever os pesos com as densidades:

P 1 = ρ 1 g V

P 2 = ρ 2 g V = 6 ρ 1 g V

Passo 3

Com isso nosso sistema vira:

ρ o g V 2 = ρ 1 g V + T 6 ρ 1 g V = ρ a g V 2 + ρ o g V 2 + T

Subtraindo a segunda da primeira gente consegue eliminar T e fica com

6 ρ 1 g V - ρ o g V 2 = ρ a g V 2 + ρ o g V 2 - ρ 1 g V

Dá pra cortar esse montão de V e g !!!

6 ρ 1 - ρ o 2 = ρ a 2 + ρ o 2 - ρ 1

Agora isolando ρ 1

7 ρ 1 = ρ a 2 + ρ 0

ρ 1 = 1 7 ρ a 2 + ρ 0

Vamos converter os valores das densidades para k g / m 3 (Basta multiplicar por 1000):

ρ a = 1000 k g / m 3

ρ o = 920 k g / m 3

Então:

ρ 1 = 1 7 . ρ a 2 + ρ 0 = 203 k g / m 3

Como ρ 2 = 6 ρ 1

ρ 2 = 6 × 203

ρ 2 = 1218   k g / m 3

Passo 4

c):

Tendo as densidades das bolas, é fácil descobrir a massa de cada uma. Podemos calcular o volume das esferas, já que temos o raio. O volume de uma esfera é dado por:

V = 4 π R 3 3

Sendo R = 15 c m = 15 x 10 - 2 m :

V = V 1 = V 2 = 4 π 15 × 10 - 2 3 3 ≅ 0,014 m 3

Então:

m 1 = ρ 1 V

m 1 = 2,87 k g

E:

m 2 = ρ 2 V

m 2 = 1218 ( 0,014 ) ≅ 17,2 k g

Passo 5

Isolando T em alguma das equações, como nessa:

E 1 = P 1 + T → T = E 1 - P 1

T = ρ o g V 2 - m 1 g = 920 × 10 × 0,014 2 - 2,87 . 10

T = 3 5 , 7   N

Resposta

a):

Pra primeira bolinha (1):

Pra segunda bolinha:

b):

ρ 1 = 203 k g / m 3

ρ 2 = 1218   k g / m 3

c):

m 1 = 2,87 k g

m 2 = 17,2 k g

d):

T = 35,7   N

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