Exercícios Resolvidos de Energia e Densidade de Energia em um Campo Magnético

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Enunciado

Considere o mesmo cabo coaxial da questão anterior.

( b ) Obtenha a energia total armazenada pelo campo magnético em uma porção de comprimento l desta região. Sugestão: utilize como elemento de volume para integração uma casca cilíndrica de raio s e espessura infinitesimal ds.

Passo 1

Oiie tudo bem?

O sistema que a questão anterior trazia descreve um sistema que pode ser visto da seguinte forma

imagine que o círculo de raio b é o corte transversal da casca cilíndrica e tem uma corrente que aponta para dentro da tela, e que o disco no interior é o corte transversal do cilindro maciço em seu interior com uma corrente que sai da tela! A intensidade desta corrente é I tanto na superfície cilíndrica quanto no cilindro maciço, e temos a informação adicional que a corrente é uniformemente distribuída transversalmente pelo cilindro, ou seja

J = d I d A = c t e

em que J é a densidade de corrente e A é uma área transversal! Esta alternativa nos pede

( b ) Obtenha a energia total armazenada pelo campo magnético em uma porção de comprimento l desta região. Sugestão: utilize como elemento de volume para integração uma casca cilíndrica de raio s e espessura infinitesimal ds.

lembremos que na alternativa anterior calculamos a seguinte densidade de energia

u B = d U B d V = μ 0 I 2 8 π 2 r 2

como encontramos então a energia total? Precisamos integrar ao longo de todo o cabo! Para isso faremos o que a sugestão indica, e usar um elemento superficial em coordenadas cilíndricas! E resolver a seguinte integração

U B = μ 0 I 2 8 π 2 ∫ ∫ ∫ V 1 r 2 d V

Vamos escrever o nosso elemento de volume!!

Passo 2

Usando coordenadas cilíndricas, temos que o elemento de volume é da forma

d V = r d r d θ d z

e como a região é um cilindro com raio dado por

a < r < b

e comprimento l , a nossa integral se torna

U B = μ 0 I 2 8 π 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 l ∫ a b 1 r 2 r d r d d θ

Vamos resolver as integrações!

Passo 3

A integral em θ resulta em

∫ 0 2 π d θ = 2 π

a integral em z analogamente nos dá

∫ 0 l d z = l

e, por último, a integral radial se torna

∫ a b 1 r d r = l n ( r ) | a b = l n ( b a )

De forma que a energia total armazenada é dada por

U B = μ 0 I 2   l 4 π l n ( b a )

Ou seja, temos a nossa energia total! Essa alternativa foi isso! Vamos para a última!

Resposta

U B = μ 0 I 2   l 4 π l n ( b a )

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