Exercícios Resolvidos de Energia e Densidade de Energia em um Campo Magnético

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Enunciado

Uma distribuição de corrente é dada pelo vetor densidade de corrente, em coordenadas cilíndricas, definido por:

j → r = A r 2 k ,   para 0 < r < R

j → r = 0 → , para r > R ,

Onde R é uma distância, e A é uma constante positiva.

  1. Tomando como referência a figura ao lado, o campo magnético gerado pela densidade de corrente tem sentido horário ou anti-horário?

b) Encontre o módulo B do campo magnético gerado pela densidade de corrente nas regiões 0 < r < R e r > R .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá um vetor densidade de corrente (dado em coordenadas cilíndricas) junto com uma figurinha para podermos entender melhor.

Aí, ela pede para a gente dizer se o campo magnético gerado pela densidade de corrente tem sentido horário ou anti-horário.

Também, pede para encontrarmos o módulo B do campo magnético gerado pela corrente nas regiões dadas.

Uma ideia é aplicarmos a regra da mão direita e também utilizarmos nossos conhecimentos sobre a Lei de Ampère, a qual diz o seguinte:

∮ B d l = μ 0 ∙ i e n v

Onde B é a densidade de campo magnético, d l é o diferencial de comprimento da amperiana, μ 0 é a permeabilidade magnética e i e n v é a corrente envolvida pela amperiana.

E aí? Bora responder?

Passo 2

Bom... na figura, sabendo que o eixo z está saindo do papel. Assim, podemos aplicar a regra da mão direita!

Apontando o polegar no sentido da distribuição de correntes, ou seja, saindo do papel, percebe-se que o campo magnético apresenta sentido anti-horário!!

Assim, já resolvemos a letra a)!!

Passo 3

Já na letra b), na região 0 < r < R (região 1), podemos imaginar uma amperiana nessa região e no sentido anti-horário.

Assim, pela Lei de Ampère, temos:

∮ B d l = μ 0 ∙ i e n v

Como temos a densidade de corrente em função de r , vemos que a corrente envolvida pela amperiada é dada por:

i e n v = j → r ∙ A r e a ∴

i e n v = A r 2 ∙ π r 2 ∴

i e n v = A π r 4

Assim, substituindo na Lei de Ampère, temos:

∮ B d l = μ 0 ∙ i e n v ∴

B ∙ 2 π r = μ 0 A π r 4 ∴

B = μ 0 A 2 r 3

Passo 4

Agora, para a região r > R (região 2):

Temos que essa região corresponde a região externa do fio, portanto, a corrente envolvida pela amperiana é a corrente total do fio.

Sendo assim, temos:

∮ B d l = μ 0 ∙ i e n v ∴

B ∙ 2 π r = μ 0 A R 2 π R 2 ∴

B = μ 0 A 2 R 4 r    

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

  1. Sentido anti-horário
  2. Região 1: B = μ 0 A 2 r 3

Região 2: B = μ 0 A 2 R 4 r

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