Exercícios Resolvidos de Energia e Densidade de Energia em um Campo Magnético

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Enunciado

Sabe-se que, no interior de um cilindro (circular reto) de raio a , existe um campo magnético B → = K ( s / a 2 ) ϕ ^ , onde s ,   ϕ ,   z são as coordenadas cilíndricas usuais, K é uma constante, e o eixo Z coincide com o eixo de simetria do cilindro.

A energia magnética E m armazenada no cilindro entre z = 0 e z = L é

a E m = K 2 s 2 / ( 2 μ 0 a 4 )

b E m = K 2 L 2 / ( 6 μ 0 a )

c E m = π K 2 / ( 3 μ 0 a )

d E m = π K 2 L / ( 3 μ 0 a )

e E m = π K 2 L / ( 4 μ 0 )

Passo 1

A densidade de energia magnética é dada por:

d E m d V = u = B 2 2 μ 0

Assim, a energia magnética é dada por:

E m = ∭ V   B 2 2 μ 0 d V

Como estamos trabalhando com um cilindro e o campo magnético varia de acordo com a coordenada radia, o volume infinitesimal será dado por:

V = π s 2 L → d V = 2 π s L   d s

0 ≤ s ≤ a

Logo:

E m = ∫ 0 a 1 2 μ 0 K s a 2 2 2 π s L   d s

E m = ∫ 0 a 1 2 μ 0 K 2 s 2 a 4 2 π s L   d s

E m = 2 π L K 2 2 μ 0 a 4 ∫ 0 a s 3   d s

E m = π L K 2 μ 0 a 4 s 4 4 0 a

E m = π L K 2 μ 0 a 4 a 4 4

Finalmente:

E m = π L K 2 4 μ 0

A resposta certa é a letra e .

Resposta

e E m = π K 2 L / ( 4 μ 0 )

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