Exercícios Resolvidos de Energia e Densidade de Energia em um Campo Magnético

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Enunciado

Considere um cilindro longo de raio R , o qual possui uma densidade volumétrica de carga ρ r = b r , onde b é uma constante e r é uma distância radial até o eixo central do cilindro. Para qual distância radial r no exterior do cilindro ( r > R ) o campo elétrico possui o mesmo valor do campo em r = R / 2 ? (Expresse o resultado em função de R ).

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um cilindro longo de raio R :

Esse cilindro tem uma densidade volumétrica de carga ρ r = b r , onde b é uma constante e r é uma distância radial até o eixo central do cilindro. Quê que isso quer dizer?

Quer dizer que o r é uma distância qualquer na direção radial, ele pode ser maior que o raio do cilindro, menor que o raio do cilindro ou está ali no meio. E aí, o enunciado quer saber qual é essa distância r que vai ter o mesmo campo elétrico em r > R (no exterior do cilindro) e em r = R / 2 , beleza?

Pra encontrar essa distância radial e expressar o resultado em função de R , precisamos primeiro definir o campo elétrico nessas duas regiões ( r > R e r = R / 2 ). Pra isso, vamos usar a equação:

∫ E ∙ d A = 1 ε 0 Q i n

Como A é a área do cilindro, ficamos com a expressão:

2 π r L E = Q i n ε 0

E o campo é dado por:

E = Q i n 2 π r L ε 0

Daí, basta saber em cada caso, qual é a carga Q i n dentro da superfície cilíndrica considerada, aplicar na equação do campo e depois igualar as duas expressões pra descobrir r .

Vamos lá!

Passo 2

O nosso cilindro tem uma densidade de carga ρ r = b r e nós queremos descobrir a carga total para um comprimento L . Para isso, temos que integrar a densidade de carga no volume:

q c i l i n d r o = ∫ ρ d V

Como vamos fazer a integral em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume pode ser escrito como:

d V = L ∙ 2 π r   d r

Com isso, só precisamos fazer a integral em r :

q c i l i n d r o = 2 π L ∫ 0 R ρ   r   d r

Note que estamos integrando de r = 0 até r = R , varrendo todo o cilindro. E vai nos ser útil saber a carga até uma distância r < R . Para isso, vamos calcular:

q c i l i n d r o r = 2 π L ∫ 0 r ρ   r   d r

Substituindo ρ r = b r :

q c i l i n d r o r = 2 π L ∫ 0 r b r   r d r = 2 π b L ∫ 0 r r 2 d r

Integrando:

q c i l i n d r o r = 2 π b L r 3 3 0 r = 2 π b L r 3 3

Passo 3

No passo 1 , nós vimos que o campo elétrico é dado por:

E = Q i n 2 π r L ε 0

Onde Q i n é a carga no cilindro, que nós encontramos no passo anterior. Vamos então substituir q c i l i n d r o na equação:

E = 2 π b L r 3 3 2 π r L ε 0 = 2 π b L r 3 3 ∙ 1 2 π r L ε 0

→ E = b r 2 3 ε 0

Como nós definimos lá em cima r < R , esse é o campo elétrico dentro do cilindro. Se nós substituirmos r = R 2 , temos:

E = b R 2 2 3 ε 0 = b R 2 4 ∙ 1 3 ε 0

E = b R 2 12 ε 0

E para r > R , no exterior do cilindro, qual seria o campo? Do mesmo modo que no passo 2 , nós teríamos:

Q i n = 2 π b L R 3 3

Substituindo na equação do campo:

E = Q i n 2 π r L ε 0

E r > R = 2 π b L R 3 3 2 π r L ε 0 = 2 π b L R 3 3 ∙ 1 2 π r L ε 0

E r > R = b R 3 3 r ε 0

Passo 4

Mas o enunciado quer saber qual é distância radial r no exterior do cilindro ( r > R ) para o qual o campo elétrico possui o mesmo valor do campo em r = R / 2 . A gente já descobriu o valor do campo nessas duas situações, então basta igualar as duas expressões ( E = b R 2 12 ε 0 e E r > R = b R 3 3 r ε 0 ):

b R 2 12 ε 0 = b R 3 3 r ε 0

Simplificando, temos:

R 2 12 = R 3 3 r

Colocando r em função de R :

3 r R 2 = 12 R 3

3 r 12 = R 3 R 2

1 4 r = R

Logo,

r = 4 R

Essa é a distância na qual os campos se igualam.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r = 4 R

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