Exercícios Resolvidos de Energia e Densidade de Energia em um Campo Magnético

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Enunciado

Um solenóide toroidal cheio de ar, com campo magnético uniforme ao longo de toda a seção reta de seu núcleo, possui N = 300 espiras e um raio médio de r m é d i o = 12,0   c m , com seção reta de área igual a A = 4,0   c m 2 . Supondo que a corrente que passa em suas espiras seja igual a I = 5,0   A , calcule:

  1. O campo magnético do toróide;
  2. A auto-indutância do toróide;
  3. A energia armazenada no campo magnético;
  4. A densidade de energia armazenada no campo magnético.

Passo 1

Vamos tentar entender a situação do problema dando uma olhada para a figura abaixo. Se você pegar a ideia dessa questão, você mata qualquer outro problema parecido que aparecer no seu caminho...vai por mim... :-) Fica firme!!

Aqui representei para você, para ficar mais fácil de a gente ver a situação, apenas uma seção transversal de um toróide, neste caso apenas metade do toróide e apenas algumas poucas das espiras quadradas (poderiam ser circulares também, ok? Não vai importar para o que a gente vai ver neste exercício!!!).

Cada uma das N espiras transporta uma corrente I e as colocamos no sentido horário indicado na figura. Além disso, imagina que essas espiras estão todas muuuiiitoo próximas umas das outras, o que geralmente aparece nos textos como espiras muito compactas.

Pela regra da mão direita, a gente sabe que o campo magnético que essas correntes geram está entrando no plano da página e esse campo fica todo dentro da região de raio b - a . Para facilitar nossa discussão, colocamos também a área d A → sempre paralela ao campo magnético B → e entrando no plano da página, como ilustrado na figura.

Passo 2

a) Lá na nossa discussão da teoria, você viu que o módulo para o campo magnético dentro do toróide tem a seguinte expressão

B = μ 0 N I 2 π r .

Fica claro dessa equação, que o campo magnético depende da distância r do centro do toróide, ou seja, posições diferentes dentro das N espiras tem valores diferentes para o campo magnético, blz?

Agora, existe uma situação particular, que vou te mostrar agora. Quando a gente tem b - a ≪ r , ou seja, a seção reta tem dimensões muito pequenas comparadas com a distância r , a gente tem um campo uniforme dentro do toróide e podemos substituir a distância r por um raio médio r m é d i o fixo. Isto é, na expressão do campo, podemos fazer o seguinte

r → r m é d i o ⇒ B m é d i o = μ 0 N I 2 π r m é d i o ,

que tem um valor constante e igual a B m é d i o em todos os pontos dentro do toróide. Fechou?? Se você substitui os valores dados no enunciado, obtém que o campo tem o valor de

B m é d i o = 2,5   ×   10 - 3   T .

Tudo que a gente vai fazer nos próximos itens vai usar esse campo constante com r m é d i o aí de cima. Fica ligado nisso, tá ok?

Passo 3

b) Bom, agora que já visualizamos a questão através da figura (tomara que ela tenha mesmo te ajudado com isso...rsrs), vamos entender o que precisamos calcular neste caso.

Primeiro, para obter a autoindutância L do toróide, vamos começar nossa solução pela expressão do fluxo magnético e sua relação com a autoindutância L dada por

Φ B = ∫ A B → . d A → = L I

sendo que I é corrente que percorre cada uma das N espiras do solenóide toroidal.

O caminho que a gente vai seguir abaixo é o seguinte: calculamos o fluxo total Φ B do toróide e o igualamos a L I para tirar a expressão para L . Sacô a ideia? Segue firme...

Tendo o valor do campo gerado pela corrente que passa nas N espiras, podemos encontrar o fluxo magnético. Como o vetor área   d A → é sempre paralelo a B → , temos que

Φ B = N ∫ B → . d A → = N ∫ B m é d i o   d A .

Agora, lembra lá do enunciado que o campo é uniforme dentro do toróide? Por essa razão, a gente pode tirar o campo magnético dessa integral e já substituir o valor que temos para ele do Passo 2. Isso dá o seguinte

Φ B = N B m é d i o ∫ d A = N B m é d i o A ⇒   Φ B = μ 0 N 2 A 2 π r m é d i o   I = L   I

que nos permite encontrar a expressão para a autoindutância I do toróide como

L = μ 0 N 2 A 2 π r m é d i o   .

Fica ligado, porque essa expressão vale apenas para o caso em que o campo magnético dentro do toróide é uniforme, tranquilo? Guarda isso no coração...Quando não for uniforme, daí a gente vai ter que trabalhar um pouco mais, mas a gente vai te ajudar nesse caso mais geral também, já que pode cair também na sua prova...

Finalizando o item, colocamos os valores do enunciado nessa expressão e tacando na calculadora, você vai ter que

L = 6,0   ×   10 - 5   H .

Passo 4

c) Como a energia magnética U B acumulada no campo magnético é dada por

U B = L I 2 2 ,

temos, utilizando o valor da indutância L encontrada no passo anterior, que

U B = 7,50   ×   10 - 4   J .

Passo 5

e) A energia U B que encontramos no passo anterior fica armazenada em um volume igual ao produto da área A da seção reta do toróide vezes o comprimento do toróide que igual a L = 2 π r m é d i o , ou seja, V = L A = 2 π r m é d i o A .

Portanto, a densidade de energia, ou seja, a energia por unidade de volume, tem o seguinte valor

u B = L I 2 2 V = L I 2 2 ( 2 π r m é d i o A )   ⇒ u B = 2,49 J m 3 .

Esse valor diz para a gente que cada m 3 do interior do toróide tem uma energia de 2,49   J .

Resposta

  1. B m é d i o = 2,5   ×   10 - 3   T ;
  2. L = 6,0   ×   10 - 5   H ;
  3. U B = 7,50   ×   10 - 4   J ;
  4. u B = U B V = 2,49 J m 3 .

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