Exercícios Resolvidos de Energia e Densidade de Energia em um Campo Magnético

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Enunciado

A figura abaixo ilustra duas cascas cilíndricas coaxiais e muito longas (podem ser consideradas infinitas), uma de raio r 1 e outra de raio r 2 .

A corrente elétrica que passa em ambas as cascas cilíndricas tem intensidade I , mas flui em sentidos opostos, como indicado na figura.

Para tal situação, calcule:

a O módulo do campo magnético para r 1 < r < r 2 , usando lei de Ampère.

b A energia magnética armazenada num volume de comprimento l na região r 1 < r < r 2 entre as cascas.

c A indutância por unidade de comprimento l do sistema.

Passo 1

a O módulo do campo magnético para r 1 < r < r 2 , usando lei de Ampère.

A Lei de Ampère é dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Na região r 1 < r < r 2 , a nossa amperiana envolve apenas a corrente que passa pela casca cilíndrica de raio r 1 , logo:

B × 2 π r = μ 0 I

B = μ 0 I 2 π r

Passo 2

b A energia magnética armazenada num volume de comprimento l na região r 1 < r < r 2 entre as cascas.

A energia magnética é dada por:

U B = ∫ u B   d V

Onde u B é a densidade de energia magnética:

u B = B 2 2 μ 0

Aplicando a expressão para o campo magnético encontrada no Passo 1, temos:

u B = 1 2 μ 0 μ 0 I 2 π r 2 = 1 2 μ 0 μ 0 2 I 2 4 π 2 r 2

u B = μ 0 I 2 8 π 2 r 2

E como estamos trabalhando com geometria cilíndrica, temos que:

V = π r 2 L → d V = 2 π r l   d r

Portanto:

U B = ∫ r 1 r 2 μ 0 I 2 8 π 2 r 2 × 2 π r l   d r = μ 0 I 2 l 4 π ∫ r 1 r 2 d r r

U B = μ 0 I 2 l 4 π ln ⁡ r 2 r 1

Passo 3

c A indutância por unidade de comprimento L / l do sistema.

A indutância está associada à energia magnética por:

U B = 1 2 L I 2

Igualando à expressão que encontramos no Passo 2, temos:

1 2 L I 2 = μ 0 I 2 l 4 π ln ⁡ r 2 r 1

L l = μ 0 2 π ln ⁡ r 2 r 1

Resposta

a

B = μ 0 I 2 π r

b

U B = μ 0 I 2 L 4 π ln ⁡ r 2 r 1

c

L l = μ 0 2 π ln ⁡ r 2 r 1

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