Exercícios Resolvidos de Energia e Densidade de Energia em um Campo Magnético

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Enunciado

Um solenóide toroidal tem seção transversal quadrada de lado L , raio interno a , raio externo b e N voltas de um fio condutor fino enroladas de forma compacta em torno dele. Por cada uma das espiras passa uma corrente I , que produz um campo magnético no interior desse toróide. Nessa situação e sabendo que esse campo magnético não é uniforme ao longo da seção reta de cada espira, qual é a energia magnética acumulada na região interna desse toróide?

Passo 1

Vamos tentar entender a situação do problema olhando para a figura abaixo. Representamos apenas uma seção transversal de um toróide, neste caso apenas metade do toróide e apenas algumas das espiras quadradas. Cada uma das N espiras quadradas transporta uma corrente I e as colocamos no sentido horário indicado na figura.

Por isso, pela regra da mão direita, o campo magnético que essas correntes geram está entrando no plano da página. Para facilitar nossa discussão, colocamos também a área   d A → sempre paralela ao campo magnético B → , como ilustrado na figura. Colocamos também uma área infinitesimal d A = d r d z pela qual o campo passará.

A corrente em cada uma das N espiras atravessará uma área definida pelo contorno fechado C , que está a uma distância r do eixo Z .

Passo 2

Bom, agora que já visualizamos a questão através da figura (assim espero...rsrs), vamos entender o que precisamos calcular neste caso.

Primeiro, para obter a autoindutância L , vamos começar nossa solução pela expressão do fluxo magnético e sua relação com a autoindutância L de acordo com

Φ B = ∫ A B → . d A → = L I

sendo que I é corrente que percorre cada uma das N espiras quadradas do solenóide toroidal.

O caminho que a gente vai seguir abaixo é o seguinte: calculamos o fluxo total Φ B do toróide e o igualamos a L I para tirar a expressão para L .

Então, obtemos o seguinte módulo para o campo magnético

B = μ 0 N I 2 π r .

Tendo o valor do campo gerado pela corrente que passa nas N espiras, podemos encontrar o fluxo magnético. Como o elemento de área d A = d z   d r é sempre paralelo a B → e este tem mesmo valor em todos os pontos da curva C neste caso, temos que

Φ B = N ∫ B → . d A → = N ∫ B   d A .

Como o módulo do campo magnético B não é uniforme dentro do toróide, pois depende da distância r como acabamos de ver, então não podemos tirar o B de dentro da integral, blz?? Fica ligado nessa informação... Sei que a gente fica tentado em tirar o B da integral porque facilita e muito nossa vida, mas não faça isso a menos que o enunciado te diga que é uniforme...IMPORTANTÍSSIMO ISSO...

Dá uma olhada lá na figura e veja que, neste sistema de coordenadas, o elemento infinitesimal de área atravessada pelo campo é d A = d r d z . Por isso, o fluxo total é

Φ B = N ∫ = N   μ 0 N I 2 π ∫ 0 L = b - a d z   ∫ a b d r r

Resolvendo a integral acima, obtemos que o fluxo magnético total através das N espiras é

Φ B = μ 0 N 2 I 2 π b - a ln ⁡ b a       = L I ⇒ L = μ 0 N 2 ( b - a ) 2 π ln ⁡ b a

que nos permite encontrar a expressão para a autoindutância.

Passo 3

Como a energia magnética U B acumulada no campo magnético é dada por

U B = L I 2 2 ,

temos, utilizando a expressão da indutância L encontrada no passo anterior, que

U B = μ 0 N 2 ( b - a ) 4 π ln ⁡ b a I 2 .

Resposta

U B = μ 0 N 2 ( b - a ) 4 π ln ⁡ b a I 2 .

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