Exercícios Resolvidos de Energia e Densidade de Energia em um Campo Magnético

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Enunciado

Um solenoide tem 85,0 cm de comprimento, uma seção reta de 17,0 cm², 950 espiras e é percorrido por uma corrente de 6,60 A. (a) Calcule a densidade de energia do campo magnético no interior do solenoide. (b) Determine a energia total armazenada no campo magnético, desprezando os efeitos de borda.

Passo 1

Para resolvermos a letra (a) vamos utilizar a fómula de densidade de energia do campo magnético:

μ B = B ² 2 μ 0

Como o campo magnético no interior de um solenoide é dado por:

B =   μ 0   n   i

Sendo que   i é a corrente passando pelo solenoide e n é o número de espiras por unidade de comprimento.

Temos:

n =   950 0,85 = 1,18   x   10 3   m - 1

Juntando tudo temos:

μ B = ( μ 0   n   i ) ² 2 μ 0 =   μ 0   n ²   i ² 2 = 4   π   x   10 - 7   ( 1,18   x   10 3 ) ²   ( 6,60 ) ² 2 = 34,2   J / m ³  

Passo 2

Para resolvermos a letra (b) temos que lembrar que o campo magnético no interior do solenoide ideal é uniforme. Portanto, a energia total armazenada no campo magnético é dada pela fórmula:

U b   =   ∭ B ² 2 μ 0 d V = B ² 2 μ 0   ∭ d V   = B ² 2 μ 0     V = μ B   V  

Podemos tirar o campo magnético da integral pois ele é uniforme. A integral tripla de dV é igual ao volume total do solenoide. O volume é dado pelo produto da área da seção reta pelo comprimento do solenoide.

Temos que a área é:

A = 17,0   c m ²   = 17   x   10 - 4   m ²

Sendo assim:

U b   = μ B   A   l = 34,2   17   x   10 - 4 0,85 = 4,94   x   10 - 2   J = 49,4   m J

Resposta

(a) μ B = 34,2   J / m ³

(b) U b   = 49,4   m J

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