Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

Transformações Lineares e Teorema Núcleo-Imagem

Seja T : R n R m transformação linear injetivas.

Prove que se v 1 , v 2 , , v s R n são vetores linearmente independentes, então os vetores T v 1 , T v 2 , , T v s R m são também linearmente independentes.

Passo 1

Primeiro passo a se fazer é separar em hipótese e tese:

Hipótese: v 1 , v 2 , , v s R n são vetores linearmente independentes

Tese: T v 1 , T v 2 , , T v s R m são também linearmente independentes.

Equacionando a tese:

a 1 T v 1 + a 2 T v 2 + + a s T v s = 0

Então, queremos achar que a 1 = a 2 = = a s = 0 , para provar que : T v 1 , T v 2 , , T v s são L I .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Continuando, vamos passar os coeficientes “para dentro” da transformação, já que ela é linear:

T a 1 v 1 + T a 2 v 2 + + T a s v s = 0

E agora vamos juntar as somas, também porque nossa transformação é linear:

T a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a s v s = 0

Mas como nossa T é injetiva, sabemos que:

T a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a s v s = 0 a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a s v s = 0

Mas por hipótese sabemos que { v 1 , v 2 , , v s } é L I . Logo, se

a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a s v s = 0

Então:

a 1 = a 2 = = a s = 0

E assim provamos que { T v 1 , T v 2 , , T v s } é L I .

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