Exercícios Resolvidos de Contração do Comprimento

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Enunciado

Para um dado referencial inercial, duas réguas posicionadas paralelamente ao eixo x do referencial possuem o mesmo comprimento de 4,0   m . A régua A está parada enquanto a régua B possui velocidade constante 3 c 5 x ^ para o dado referencial inercial. Determine os comprimentos das réguas A   l A e B ( l B ) para um outro referencial que possui velocidade constante 3 c 5 x ^ em relação ao primeiro.

a) l A = 3,2   m e l B = 5,0   m .

b) l A = 5,0   m e l B = 3,2   m .

c) l A = 3,2   m e l B = 3,2   m .

d) l A = 5,0   m e l B = 5,0   m .

e) l A = 3,2   m e l B = 4 , 0   m .

Passo 1

Queremos calcular qual é o tamanho da régua A com relação ao referencial que se move com velocidade de 3 c 5 (referencial anda junto com a régua B ). Para isso, lembraremos da teoria que:

l A = L 0 A 1 - v 2 c 2

Onde l A é o comprimento da régua A medido pelo referencial que se move com velocidade v = 3 c 5 , e L 0 A é o comprimento próprio da régua que é o comprimento medido pelo referencial na qual a régua está parada.

Ficou difícil? Pergunte-se o seguinte: “Em qual referencial a régua está parada? Hmm... Ela está parada com relação ao primeiro referencial, e neste referencial ela mede 4   m (de acordo com o enunciado), logo este será o comprimento próprio!”. Então bora lá!

l A = 4 × 1 - 3 c 5 2 c 2 = 4 × 1 - 9 c 2 25 c 2 = 4 × 1 - 9 25

l A = 3,2   m

Logo o referencial em movimento vê a régua A com um comprimento contraído de 3,2   m .

Obs: Esse referencial está andando junto com a régua B , pois ambos possuem a mesma velocidade.

Passo 2

Agora vamos calcular o comprimento da régua B com relação ao primeiro referencial (referencial que está junto com a régua A). Da teoria:

l B = L 0 B 1 - v 2 c 2

Onde l B é o comprimento da régua B medido pelo primeiro referencial, que vale 4   m (de acordo com o enunciado). E esse referencial também se move com velocidade v = 3 c 5 em relação ao referencial da régua B .

L 0 B é o comprimento próprio da régua que é o comprimento medido pelo referencial na qual a régua está parada. Novamente, pergunte-se o seguinte: “Em qual referencial a régua está parada? Hmm... Ela está parada com relação ao segundo referencial, que está junto com ela, e neste referencial nós não sabemos qual é o seu comprimento, mas sabemos que este será o comprimento próprio.”. Logo:

4 = L 0 B 1 - 3 c 5 2 c 2 = L 0 B × 1 - 9 c 2 25 c 2 = L 0 B × 1 - 9 25

L 0 B = 5   m

Vamos recapitular:

1. O referencial que está junto com a régua A , vê a régua B com comprimento de 4,0   m . (Isso está escrito no enunciado!)

2. O referencial que está junto com a régua A , vê a régua A com comprimento de 4,0   m . (Está escrito no enunciado também!)

3. O referencial que está junto com a régua B , vê a régua A com comprimento de 3,2   m .

4. O referencial que está junto com a régua B , vê a régua B com comprimento de 5,0   m .

Na resposta está escrito: l A = 3,2   m e l B = 5,0   m . Porém, de acordo com nossas análises e de acordo com nossa nomenclatura para as variáveis, seria mais correto escrever assim:

l A = 3,2   m   e   L 0 B = 5,0   m .

Resposta

Letra (a): l A = 3,2   m e l B = 5,0   m .

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