Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

(2.0) Determine uma representação em série de potências centrada em zero das

seguintes funções f(x) e determine o seu raio de convergência.

1. f x = 1 + x 1 - x

2. f x = ln ⁡ ( x 2 + 1 )

Passo 1

Fala aí, vamos começar a pensar em como representar a função do item (1) em série de potências. Olha, é bom a gente tentar comparar com a série geométrica, ou seja, tentar achar um termo semelhante a

1 1 - x

Olha, se a gente reescrever a nossa função assim

f x = 1 + x 1 1 - x  

A função não mudou, mas ficou mais fácil ver um termo semelhante ao da série geométrica, beleza?

Ah ok, mas pra que a gente quer comparar com a série geométrica mesmo? Oras, porque a gente sabe como é a representação dela é série de potências:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Bom, substituindo na nossa função, ficaremos com:

f x = ( 1 + x ) ∑ n = 0 ∞ x n

Expandindo isso, teremos:

f x = ∑ n = 0 ∞ x n + x ∑ n = 0 ∞ x n

Vamos analisar cada termo da nossa função:

1º termo:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 …

2º termo:

x ∑ n = 0 ∞ x n = x + x 2 + x 3 + x 4 …

Beleza, então quando a gente somar esses dois termos, alguns fatores vão se repetir ( x , x 2 , x 3 … ) e o 1 vai aparecer apenas uma vez.

A função, então, vai ficar:

f x = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ x n

Já o raio de convergência será o mesmo de 1 1 - x , logo R = 1 .

Passo 2

Agora vamos resolver o item (2). Nesse caso, não iremos comparar bem com a série geométrica. Porémmmmm, podemos comparar com uma outra função que já fica bem mais parecida, olha só:

ln ⁡ ( 1 - x ) = - ∑ n = 1 ∞ x n n  

Olha, agora basta deixarmos a nossa função com essa cara, mas como?

Bom, dentro do logaritmo temos ( 1 - x ) , né? Só que a nossa função tem ( 1 + x 2 ) .Oras, vamos dar uma maquiada aí.

ln ⁡ ( x 2 + 1 ) = ln ⁡ ( 1 - - x 2 )

Escrevi a mesmíssima coisa, porém com uma carinha mais atraente, não?

Então, teremos:

f x = ln ⁡ ( 1 - - x 2 ) = - ∑ n = 1 ∞ ( - x 2 ) n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1   x 2 n n

Show! O raio de convergência, a gente pode descobrir pelo teste da razão:

x 2 n + 1 n + 1 n x 2 n = x 2 n n + 1 → n → ∞ R = 1

Resposta

1. f x = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ x n

Raio de convergência: 1

2. f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1   x 2 n n

Raio de convergência: 1

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O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.