Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

Ver Teoria

Enunciado

Suponha que a matriz A de ordem n × n tenha n autovalores reais dois a dois distintos r 1 ,   r 2 ,   … ,   r n < 0 (ou seja, negativos). Mostre que se ϕ ( t ) é uma solução do sistema x ' = A x , então:

ϕ ( t )   = 0 → = 0   ⋮   0  

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma matriz A que tem infinitos autovalores negativos e um sistema de equações diferenciais ordinárias, x ' = A x , que tem uma solução ϕ ( t ) . Ele quer que a gente mostre que quando t tende a infinito nessa solução, o resultado é o vetor nulo.

Pra gente conseguir demonstrar isso, temos que conhecer o formato da solução do sistema. Lembra dela? Pra um sistema de EDO, nós temos a solução geral do tipo:

ϕ t = c 1 V 1 e r 1 t + c 2 V 2 e r 2 t + … + c n V n e r n t

Onde V 1 ,   V 2 ,   … , V n são os autovetores associados aos autovalores r 1 ,   r 2 ,   … ,   r n , e c i são os coefiecientes reais com i = 1 , … ,   n .

A partir dessa solução, nós vamos verificar o que acontece com o limite ϕ ( t )   , supondo os autovalores r i negativos.

Vamos lá!

Passo 2

Como vimos no passo 1 , a matriz A possui n autovalores distintos e a solução de x ' = A x é dada por:

ϕ t = c 1 V 1 e r 1 t + c 2 V 2 e r 2 t + … + c n V n e r n t

Calculando o limite pra t tendendo a infinito, temos:

ϕ ( t )   = ( c 1 V 1 e r 1 t + c 2 V 2 e r 2 t + … + c n V n e r n t )  

Lembra das propriedades do limite? Uma delas nos diz que o limite da soma é igual a soma dos limites.

ϕ ( t )   = c 1 V 1 e r 1 t + l i m t → + ∞ c 2 V 2 e r 2 t + … + l i m t → + ∞   c n V n e r n t

Além disso, como o limite é apenas em relação a t , nós podemos tirar os termos constantes para fora do limite. Assim, ficamos com:

ϕ ( t )   = c 1 V 1 e r 1 t + c 2 V 2 l i m t → + ∞ e r 2 t + … + c n V n l i m t → + ∞   e r n t

Como o enunciado nos disse que r 1 ,   r 2 ,   … ,   r n < 0 , ou seja, esses autovalores são negativos, nós vamos ter um expoente negativo em e . Assim, o que acontece é que quando t → ∞ , vamos ter algo do tipo 1 e tendendo a zero, percebe? Isso porque a gente vai ter um número pequeno dividido por um número infinitamente grande.

Dessa forma, o limite e r i t   , para r i < 0 , é igual a zero. E temos:

ϕ ( t )   = c 1 V 1 + c 2 V 2 ∙ 0 + … + c n V n ∙ 0  

Então, o resultado dessa multiplicação será:

ϕ ( t )   = 0 + 0 + … + 0

Ou seja:

ϕ ( t )   = 0 → = 0   ⋮   0  

Como queríamos demonstrar.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

ϕ ( t )   = 0 → = 0   ⋮   0  

Exercícios de Livros Relacionados

O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.