Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

Considere o sistema de equações diferenciais ordinárias:

x ' = A x = 1 - 2 3 - 4 x

1. Encontre os autovalores da matriz A .

2. Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais ordinárias.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os autovalores da matriz A e a solução geral do sistema de equações:

x ' = A x = 1 - 2 3 - 4 x

Nós vamos começar encontrando os autovalores da matriz A = 1 - 2 3 - 4 . Mas como é que a gente faz isso? Basta a gente calcular as raízes do polinômio característico:

p λ = det ⁡ A - λ I

Onde I é a matriz identidade e A é a nossa matriz. Então, para encontrar os autovalores basta fazer p λ = 0 . Em seguida, vamos encontrar a solução geral do sistema por meio dos autovetores associados ao autovalores λ . Nossa solução geral terá a forma:

x t = c 1 v 1 e λ 1 t + c 2 v 2 e λ 2 t

Onde v 1 e v 2 são os autovetores que nós encontramos fazendo:

A b = λ b

Com b = x y .

Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando nosso autovalores, calculando:

p λ = det ⁡ A - λ I

Nós temos A = 1 - 2 3 - 4 e a matriz identidade I = 1 0 0 1 , substituindo na equação:

p λ = det ⁡ 1 - 2 3 - 4 - λ 1 0 0 1

Multiplicando λ pela matriz identidade:

p λ = det ⁡ 1 - 2 3 - 4 - λ 0 0 λ

Subtraindo cada elemento de cada matriz, temos:

p λ = det ⁡ 1 - λ - 2 - 0 3 - 0 - 4 - λ

p λ = det ⁡ 1 - λ - 2 3 - 4 - λ

Agora vamos calcular o determinante da matriz resultante (multiplicando os elementos da diagonal principal e subtraindo a multiplicação dos elementos da diagonal secundária):

det ⁡ 1 - λ - 2 3 - 4 - λ = 1 - λ - 4 - λ - [ - 2 3 ]

= - 4 - λ + 4 λ + λ 2 + 6

Logo,

p λ = λ 2 + 3 λ + 2

Lembra que pra encontra os autovalores fazemos p λ = 0 ? Então, temos:

λ 2 + 3 λ + 2 = 0

E aí basta encontrar as raízes dessa equação quadrática. Usando Bhaskara vamos ter:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = - 3 ± 3 2 - 4 ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) = - 3 ± 9 - 8 2

Assim,

λ = - 3 ± 1 2

Dessa forma, nossas raízes são λ 1 = - 3 + 1 2 = - 1 e λ 2 = - 3 - 1 2 = - 2 . Encontramos nossos autovalores:

λ 1 = - 1               e               λ 2 = - 2

Passo 3

Agora vamos determinar os autovetores da matriz, pra conseguir escrever a solução geral do sistema. Fazendo:

A b = λ b

Com b = x y , A = 1 - 2 3 - 4 e λ = - 1 , temos:

1 - 2 3 - 4 ∙ x y = ( - 1 ) ∙ x y

Fazendo a multiplicação das matrizes do lado esquerdo e a multiplicação da constante - 1 pela matriz do lado direito, temos:

x - 2 y 3 x - 4 y = - x - y

Agora nós podemos igualar os termos que estão na mesma posição para montar o sistema:

x - 2 y = - x 3 x - 4 y = - y       ⇒     2 x - 2 y = 0 3 x - 3 y = 0  

Da primeira equação, temos:

2 x - 2 y = 0 → 2 x = 2 y

x = y

Então, com bases nesses coeficientes, temos nosso autovetor associado a λ 1 :

v 1 = 1 1

Passo 4

Agora vamos encontrar o autovetor associado a λ 2 . Fazendo:

A b = λ b

Com b = x y , A = 1 - 2 3 - 4 e λ = - 2 , temos:

1 - 2 3 - 4 ∙ x y = ( - 2 ) ∙ x y

Fazendo a multiplicação das matrizes do lado esquerdo e a multiplicação da constante - 2 pela matriz do lado direito, temos:

x - 2 y 3 x - 4 y = - 2 x - 2 y

Agora nós podemos igualar os termos que estão na mesma posição para montar o sistema:

x - 2 y = - 2 x 3 x - 4 y = - 2 y       ⇒     3 x - 2 y = 0 3 x - 2 y = 0  

Da primeira equação, temos:

3 x - 2 y = 0

3 x = 2 y

Então, nós obtemos nosso segundo autovetor:

v 2 = 3 2

Passo 5

Calma, que tá acabando! Agora só falta a gente escrever a solução geral do sistema na forma:

x t = c 1 v 1 e λ 1 t + c 2 v 2 e λ 2 t

Nós encontramos λ 1 = - 1 e λ 2 = - 2 , v 1 = 1 1 e v 2 = 3 2 . Substituindo na equação, temos:

x t = c 1 1 1 e - t + c 2 3 2 e - 2 t

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

λ 1 = - 1               e               λ 2 = - 2

x t = c 1 1 1 e - t + c 2 3 2 e - 2 t

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