Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

1. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

3.  f ( x ) = 1 1 + x

Passo 1

E ai galera, bora para mais um exercício? Simmm!!!

Claro, vou guiá-lo através do processo passo a passo para encontrar a representação em série de potências para a função f ( x ) = 1 1 + x . Vamos usar a expansão da série geométrica, pois a função 1 1 + x pode ser reescrita na forma de uma série geométrica.

A série geométrica é dada por:

1 1 - r = 1 + r + r 2 + r 3 + …

Passo 2

Comparando com a função f ( x ) = 1 1 + x , percebemos que r = - x . Portanto, temos:

1 1 + x = 1 - x + x 2 - x 3 + …

Passo 3

Verifique o intervalo de convergênciaA série geométrica converge quando - 1 < r < 1 . Neste caso, r = - x , então a série converge quando | x | < 1 .

Resposta

Portanto, a representação em série de potências para a função f ( x ) = 1 1 + x é: 1 1 + x = 1 - x + x 2 - x 3 + … ,   | x | < 1

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O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.