Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

5) Determine a série de potências da função f x = 1 3 + x 2 .

Passo 1

Opaaaa.. Beleza??

Nessa questão vamos determinar a série de potências da função dada.

Pra isso, vamos usar a série de potências mais conhecida de todas (infelizmente a gente precisa decorar essa série), que é a série geométrica:

1 1 - a = ∑ n = 0 ∞ a n

1 1 - a = 1 + a + a 2 + … + a n + …

Aí vamos tentar fazer a mágica das manipulações algébricas pra deixar a função da questão com a carinha da série geométrica.

Passo 2

A nossa função é f x = 1 3 + x 2 .

Primeira vamos colocar o 3 de baixo em evidência:

1 3 1 + x 2 3 = 1 3 1 1 + x 2 3

Se a = - x 2 3 . Vamos substituindo todo lugar que tem a por - x 2 3 :

1 3 1 1 + x 2 = 1 3 1 - x 2 3 + - x 2 3 2 + … + - x 2 3 n + …

= 1 3 - 1 9 x 2 + 1 27 x 4 + … + 1 3 - 1 3 n x 2 n + …

Achamos a série de potências da função. Bora pra próxima?

Resposta

1 3 - 1 9 x 2 + 1 27 x 4 + … + 1 3 - 1 3 n x 2 n + …

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O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.