Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

A expressão em série de potência em torno de 0 da função f x = 1 1 - x 2 é dada por ∑ n = 0 ∞ _ _   x 2 n

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função aqui

f x = 1 1 - x 2

E pediu para expressarmos essa função como uma série de potências

Mas como fazer isso?

Estamos falando daquelas séries de potências chave que aprendemos! A ideia aqui é dar uma espiada nessas séries e ver se podemos fazer uma correspondência entre elas! E assim vamos ter nossa representação da função em séries!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A função dada foi essa aqui

f x = 1 1 - x 2

E vamos procurar no nosso catálogo de representação de funções em séries, qual se aproxima:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !  

s e n x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

E assim por diante... note que essas séries saem da definição

f x = ∑ n = 0 ∞ f ' n a n ! x - a n

Se nossa função se parecer com alguma dessas que já está pronto, ótimo! Caso contrário, precisamos aplicar essa recorrência aí para descobrir a cara da nossa série, beleza?

Você vê que nossa função é do tipo

1 1 - ( c o i s a )

No nosso caso c o i s a = x 2

f x = 1 1 - x 2

Tranquilo até aqui? Agora, dá uma espiadinha na primeira série

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Ela também não é do tipo 1 1 - ( c o i s a ) ? Então fechou! É essa série que estamos procurando!

Agora é #partiu personalizar nossa série!

Passo 3

A série que estamos comparando é

1 1 - ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( x ) n

E nossa função

f x = 1 1 - ( x 2 )

Vamos substituir os parênteses da nossa série por ( x 2 ) , que é a coisa que temos na nossa função!

1 1 - ( x 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( x 2 ) n = ∑ n = 0 ∞ x 2 n

E está aí nossa série!

Mas calma que ainda não terminou! Para dar a resposta certinha que o problema pede, ele diz para completarmos a série

∑ n = 0 ∞ _ _   x 2 n

Então o coeficiente que está faltando ali para que seja exatamente igual ao nosso resultado é o 1 !

∑ n = 0 ∞ 1 . x 2 n

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

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O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.