Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

Considere a função:

f x = 1 1 + x 4

1. Determine uma representação por séries de potências em x para f .

2. Use o item anterior para avaliar a integral

∫ d x 1 + x 4

e determine o raio de convergência.

Dica: Lembre-se que a + a r + a r 2 + … = a 1 - r , para r < 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado uma função f ( x ) e pediu pra gente representar ela em séries de potências. Além disso, vamos precisar calcular a integral dessa função e determinar o raio de convergência da série.

Vamos começar relembrando como a gente representa uma função em série de potência. Como podemos fazer isso? Bom, uma série de potência nada mais é do que um polinômio (ou uma potência) escrito condensadamente em forma de somatório:

c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + … = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Só que um polinômio que “vai pra infinito”? Percebe? x continua sendo a variável, enquanto c 0 ,   c 1 ,   c 2 ,   c 3 … são os coeficientes do polinômio ou da série.

A série geométrica é uma série de potências especial, que converge para x entre - 1 e 1 e diverge pra qualquer outro valor. Lembra dela? Ela é representada assim:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

Se a gente reparar, nossa função f x = 1 1 + x 4 se parece muito com a série geométrica. Então, o que nós vamos fazer é tentar torna-la mais parecida, pra usar a representação em série de potências nesse formato conhecido. Em seguida, vamos calcular a integral da série e determinar o raio de convergência através do teste da razão, que nos diz que para:

a n + 1 a n   = L

Se L < 1 , a série é convergente e encontramos nosso raio R .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pela representação em série de potências da nossa função f . Nós já vimos que ela se parece um pouco com a série geométrica, que é definida como g x = 1 1 - x . Se escrevermos g ( x 4 ) , temos:

g ( x 4 ) = 1 1 + x 4 = 1 1 - ( - x 4 )

Então, como a série geométrica é representada por ∑ n = 0 ∞ x n , podemos escrever:

∑ n = 0 ∞ - x 4 n

Colocando o - 1 evidência, fica:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n

E encontramos nossa representação em série.

Passo 3

Agora vamos calcular a integral ∫ d x 1 + x 4 usando a resultado do passo anterior. Para encontrar a integral de uma série de potências, usamos um teorema que nos diz que dentro do seu intervalo de convergência, a integral de uma série de potência é a soma das integrais dos termos individuais, ou seja:

∫ ∑ n = 0 ∞ f x d x = ∑ n = 0 ��� ∫ f x d x

Assim, temos:

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n x 4 n d x

Como nossa integral é em relação a x , podemos colocar o termo constante ( - 1 n ) pra fora da integral:

∑ n = 0 ∞ - 1 n ∫ x 4 n d x

E aí podemos integrar x 4 n usando a regra da potência para integrais:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Assim, integrando, temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 1 4 n + 1

Passo 4

Agora só falta a gente determinar o raio de convergência usando o Teste da Razão. Calculando o limite:

L = a n + 1 a n  

No nosso caso, a n = - 1 n x 4 n + 1 4 n + 1 , substituindo no limite vamos ter:

L = - 1 n + 1 x 4 ( n + 1 ) + 1 4 ( n + 1 ) + 1 - 1 n x 4 n + 1 4 n + 1  

Pela propriedade da divisão de frações, vamos conservar a primeira fração, trocar o sinal de divisão por multiplicação e inverter a segunda fração:

- 1 n + 1 x 4 ( n + 1 ) + 1 4 ( n + 1 ) + 1 ∙ 4 n + 1 - 1 n x 4 n + 1  

Como x n + 1 = x n ∙ x 1 , temos:

- 1 n ( - 1 ) x 4 n ∙ x 5 4 n + 5 ∙ 4 n + 1 - 1 n x 4 n ∙ x  

Simplificando os termos semelhantes:

( - 1 ) x 5 4 n + 5 ∙ 4 n + 1 x  

= - x 4 ( 4 n + 1 ) 4 n + 5  

Como estamos usando o módulo, podemos ocultar o sinal negativo:

x 4 ( 4 n + 1 ) 4 n + 5  

Já que nosso limite é apenas em relação a n , podemos tirar x do limite:

x 4 4 n + 1 4 n + 5  

Dividindo todo mundo por n :

x 4 4 + 1 n 4 + 5 n  

Quando n tende pra infinito no denominador das frações, a divisão tende a zero (porque um número constante dividido por outro muuuuito grande, vai sempre se aproximar de zero, certo?). Assim, temos:

x 4 4 4 = x 4

Pra que a série seja convergente, o resultado do limite precisa ser menor do que 1 , então:

x 4 < 1

Daí, x < 1 e pertence ao intervalo ( - 1 ,   1 ) . Logo, nosso raio de convergência será:

R = 1

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 1 4 n + 1

R = 1

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Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.