Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

Uma primitiva para a função

f x = ∑ n = 0 ∞ 3 n x n n ! ,   x ∈ R ,   é

Escolha uma opção

  1. ∑ n = 3 ∞ x n 2 n !
  2. 1 3 ∑ n = 0 ∞ 3 n x n n !
  3. ∑ n = 0 ∞ 3 n + 1 x n ( n + 1 ) !
  4. ∑ n = 0 ∞ 3 x n + 1 n !

Passo 1

Olá, tudo certo? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função expressa série de potências aqui

f x = ∑ n = 0 ∞ 3 n x n n !

E pediu para acharmos uma primitiva para essa função

Mas como assim achar uma primitiva? Isso não era o começo de integrais?

Exatamente isso! A primitiva de uma função é uma família de funções que encontramos ao integrar a função dada e colocar um " + C " no final! É a nossa famosa integral indefinida!

Só que aqui nossa função está um pouco disfarçada: como uma série de potências. Então a ideia aqui é descobrir de qual função estamos falando, achar sua forma analítica, integrar e depois retornar para forma da série!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A série dada foi essa aqui e podemos agrupar os termos com mesmo expoente

∑ n = 0 ∞ 3 n x n n ! = ∑ n = 0 ∞ 3 x n n !

Qual série das que conhecemos essa coisa aí se parece?

Vamos listas as primeiras que vimos

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !  

s e n x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Nossa série não é do tipo a l g u m a   c o i s a n / n ! ? é sim! Então ela é da família das exponenciais!

Você vê que a série que representa a exponencial e x   tem um x n , então agora temos 3 x n , logo nossa função é

f x = e 3 x

Beleza?

Agora é #partiu integrar!

Passo 3

Nosso próximo passo é calcular a primitiva de f ( x ) , então

∫ f x d x = ∫ e 3 x d x = 1 3 e 3 x

Tranquilo? E por fim, precisamos transformar novamente para séries de potência. Percebe que é a mesma série, e 3 x = ∑ n = 0 ∞ 3 x n n ! , a não ser por aquele fator 1 3 na frente, então nossa primitiva é

1 3 e 3 x = 1 3 ∑ n = 0 ∞ 3 x n n !

E a alternativa que nos diz isso é a (b)

b   1 3 ∑ n = 0 ∞ 3 n x n n !

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( b )

Exercícios de Livros Relacionados

O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.