Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

Considere a função real

f x = 1 1 + x 2

(a) Use derivação para encontrar uma representação em séries de potências centrada em x = 0 para a função f .

(b) Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potencias encontrada no item (a).

(c) Encontrar uma expansão em séries de potencias para a função

g x = x 2 1 + x 3

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, vamos usar nossos conhecimentos a respeito de séries de potências.

Foi dada uma função f x = 1 1 + x 2 e no item a) foi dito pra usarmos a derivação que represente nossa função em séries de potências centrada em x = 0 .

Ou seja, se a gente integrar f x , vamos obter a função cuja derivada é igual a f x correto?

Portanto vamos obter a série da integral de f x e derivar sua série.

No item b) temos que determinar o raio e o intervalo de convergência da série que vamos obter.

Já no item c) vamos usar algum método para obter uma expansão em séries de potencias para a função g x = x 2 1 + x 3

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar já integrando a função f x

∫ 1 1 + x 2 d x

Aplicando o método de integração por partes onde u = 1 + x e d u = d x , temos

∫ 1 u 2 d u

Pelo método de integração polinomial

∫ u - 2 d u = u - 2 + 1 - 2 + 1

∫ u - 2 d u = - u - 1

Substituindo u por 1 + x de volta ignorando a constante de integração.

∫ 1 1 + x 2 d x = - 1 1 + x

Com isso, temos

f x = 1 1 + x 2 = d - 1 1 + x d x

Olhando para a função que podemos chamar de q x = - 1 1 + x vemos que é muito parecida com uma série muito famosa

h x = 1 1 - x

sabemos que a representação dessa função h x em séries de potências é dada por

h x = 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

comparando h x com q x , temos

h x = q x

1 1 - x = - - 1 1 - - x

Com isso, podemos adaptar a série de h x para a série de q x

q x = - ∑ n = 0 ∞ - x n

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Ainda não acabamos, vamos simplificar um pouquinho nossa série. Perceba que podemos escrever - x n como - 1 n x n portanto

q x = - ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n

Agora como f x = q ' x , temos que derivar nossa série

f x = - ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n '

Pelo método de derivação polinomial e como - 1 n é uma constante

f x = - ∑ n = 0 ∞ - 1 n n x n - 1

Como em n = 0 o termo da série é 0 , podemos começar nosso somatório com n = 1

f x = - ∑ n = 1 ∞ - 1 n n x n - 1

Ou também podemos fazer uma mudança de n para n + 1

f x = - ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 n + 1 x n

Assim podemos simplificar o sinal negativo de fora da série já que - 1 n + 1 = - 1 1 - 1 n

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 x n

Interessante, não é? 😎

Passo 4

No item b) queremos saber o raio e o intervalo de convergência da série de f x

Analisando a série f x vemos que ela é uma serie geométrica, já que uma serie geométrica tem uma cara de

∑ n = 0 ∞ C n x - a n

Ou seja, nosso C n é - 1 n n + 1 e nosso x n é o mesmo x - a n onde a = 0 .

Sabemos que uma serie geométrica converge quando x - a < 1 , com isso, como nosso a = 0 nossa série vai convergir quando x < 1 .

Dessa forma, o raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é - 1,1 .

Veja só esse desenho

O raio de convergência é a diferença entre a e os extremos a + 1 e a - 1 e o intervalo de convergência é a - 1 , a + 1 .

Entendeu? 😁

Agora vamos calcular o item c). Perceba que podemos escrever a função g x como

g x = x 2 1 + x 3 = x 2 1 1 + x 3

Vamos usar o mesmo método da derivação para calcular essa série

Se a gente derivar f x , vamos obter

f ' x = d 1 1 + x 2 d x

Pela regra do quociente, temos

d 1 1 + x 2 d x = d 1 d x · 1 + x 2 - 1 · d 1 + x 2 d x 1 + x 2 2

Dessa forma, vamos obter nossa derivada aplicando a regra da cadeia em d 1 + x 2 d x substituindo 1 + x por u

d 1 1 + x 2 d x = 0 · 1 + x 2 - 1 · d 1 + x d x · d u 2 d u 1 + x 4

d 1 1 + x 2 d x = - 1 · 2 u 1 + x 4

Voltando u para 1 + x

d 1 1 + x 2 d x = - 2 1 + x 1 + x 4

Simplificando o resultado, nossa f ' x será

f ' x = - 2 1 + x 3

Relaxa, estamos acabando!

Passo 5

Perceba a relação entre g x e f ' x

g x = - x 2 2 f ' x

Já temos a série de f x , não é? De derivarmos e aplicar em g x , vamos obter a série que representa g x . Viu que maravilha!

Se

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 x n

f ' x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 x n '

Aplicando o método de integração polinomial em x n

f ' x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 n x n - 1

Novamente em n = 0 , o primeiro termo é 0 então não faz diferença para nossa série, ou vamos transladar o n inicial para 1 no somatório

f ' x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 1 n x n - 1

Se a gente transladar o n para 0 novamente, fazendo n → n + 1 na série, vamos obter

f ' x = - ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 x n

Bacana, não é?

Passo 6

Substituindo f ' x em g x , temos

g x = - x 2 2 f ' x

g x = - x 2 2 - ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 x n

Organizando o resultado

g x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 x n + 2 2

Também podemos escrever g x com a serie começando em n = 2 para x n + 2 se transformar em x n , com isso, trocamos n por n - 2

g x = ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 2 n - 2 + 2 n - 2 + 1 x n - 2 + 2 2

Logo, nossa série de potência para g x é

g x = ∑ n = 2 ∞ - 1 n n n - 1 x n 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a) f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 x n

b) R = 1 , I C = - 1,1

c) g x = ∑ n = 2 ∞ - 1 n n n - 1 x n 2

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Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.