Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

  1. Seja f : R + → R uma função infinitamente derivável. Suponha que a série de Taylor da f centrada em a = 2 seja dada pela série ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x - 2 n 2 n n    
  1. Qual o intervalo de convergência desta série? (Não se esqueça de avaliar os extremos do intervalo).

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Esse problema é sobre convergência dessa série aqui

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x - 2 n 2 n n    

Bom... o problema nos fala que a série é centrada em a = 2 e a gente sabe que o raio de convergência dessa série é: R = 2

Esse raio de convergência dos diz os possíveis valores de x ao redor de onde a série está centrada a = 2 em que a série é convergente. A gente tem uma estrutura tipo essa aqui:

O que a gente não pode esquecer é que naqueles pontos em branco a - R e a + R (os extremos do intervalo) a gente tem que dar uma atenção maior, ok?

Então partiu resolver essa!!

Passo 2

Bom, primeiro vamos ver onde estão os extremos do nosso intervalo de convergência:

a - R < x < a + R

Usando a = 2 e R = 2 temos o intervalo de convergência sendo: 0 < x < 4

E os extremos são 0 e 4 , resta agora saber se quando x vale algum desses valores a série é convergente ou não. Isso vai dizer se eles estão ou não no intervalo, ok?

Passo 3

Vamos começar com x = 0 usando esse valor na série temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 - 2 n 2 n n     =   ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 ( - 1 ) n 2 n 2 n n    

Arrumando um pouco temos: ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n - 1 n    

Como 2 n - 1 vai ser sempre um número ímpar, sabemos que:

- 1 2 n - 1 =   - 1 ,     ∀ n

Então a série fica com essa cara aqui:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 - 2 n 2 n n     =   - ∑ n = 1 ∞ 1 n  

A série que apareceu ∑ n = 1 ∞ 1 n   é uma p-série com p = 1 e a gente sabe que uma série desse tipo é divergente, ou seja, x = 0 faz com que a série seja divergente, então ele não entra no intervalo de convergência!

Passo 4

Para x = 4 a série de potências se torna:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 4 - 2 n 2 n n     =   ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n 2 n n    

=   ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n

Se avaliarmos alguns termos dessa série a gente observa um padrão:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 + ⋯

JÁ SEEEI! uma séria harmônica alternada né? A gente sabe que ela é convergente!Então x = 4 nos dá uma série convergente então ele entra no intervalo de convergência. Com o que a gente já calculou temos o intervalo de convergência sendo: 0 < x ≤ 4

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

0 < x ≤ 4

Exercícios de Livros Relacionados

O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.