Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

Ache a expansão em séries de potências de f x = e - x 2 em torno de x 0 = 0 .

Passo 1

A ideia aqui é escrever a função dada como uma série de potências! Então, sendo t = - x 2 , nossa função será uma f t = e t . E podemos aplicar essa substituição, somente porque verificamos que se x → 0 , então t → 0 .

Passo 2

Feito isso, podemos escrever nossa função como uma série de potências em torno de t 0 = 0 :

Sabemos que deve ser reescrita assim:

e t = ∑ n = 0 ∞ t n n ! = 1 + t + t 2 2 + t 3 6 + …

Passo 3

Então, voltando pra variável x , escrevemos:

f x = e - x 2 = ∑ n = 0 ∞ - x 2 n n ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n n !

Resposta

f x = e - x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n n !

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O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.