Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

1. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

7.  f ( x ) = x 9 + x 2

Passo 1

Vamos encontrar a representação em série de potências para a função f ( x ) = x 9 + x 2 utilizando o conceito de séries de Taylor. O desenvolvimento em série de potências de uma função f ( x ) em torno de um ponto a é dado por:

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞   f ( n ) ( a ) n ! ⋅ ( x - a ) n

Vamos começar com a = 0 e calcular as derivadas sucessivas de f ( x ) :Passo 1: Derivadas sucessivas

f ( x ) = x 9 + x 2

f ' ( x ) = 9 - x 2 9 + x 2 2

f ' ' ( x ) = - 18 x 9 - x 2 9 + x 2 3

f ' ' ' ( x ) = 54 x 2 x 2 - 3 9 + x 2 4

f ( 4 ) ( x ) = 216 x x 4 - 12 x 2 + 9 9 + x 2 5

Passo 2

agora devemos a valiar as derivadas em  x = 0

f ( 0 ) = 0

f ' ( 0 ) = 9 9 2 = 1 9

f ' ' ( 0 ) = 0

f ' ' ' ( 0 ) = 0

f ( 4 ) ( 0 ) = 0

Agora podemos escrever a representação em série de potências de f ( x ) em torno de a = 0 :

f ( x ) = 1 9 x + 0 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + …

Passo 3

A série de potências converge quando o valor absoluto de x está dentro do intervalo de convergência. Neste caso, a série converge para todos os valores de x .

Resposta

Portanto, a representação em série de potências para f ( x ) = x 9 + x 2 é a série acima, e o intervalo de convergência é - ∞ < x < ∞ .

Exercícios de Livros Relacionados

O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.