Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

Considere a equação

1 - x 2 y ' ' - x y ' + y = 0

Mostre que x = 0 é um ponto ordinário da equação.

Sabendo que uma solução em série de potências em x da equação tem fórmula de recorrência

a n + 2 = n - 1 a n ( n + 2 )

para n ≥ 0 , encontre os primeiros cinco termos não nulos da solução em condições iniciais y 0 = 2 e y ' 0 = 3 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma equação diferencial ordinária (EDO) com coeficiente variáveis, que é essa coisa bonitinha aí:

1 - x 2 y ' ' - x y ' + y = 0

E pediu pra gente mostrar que x = 0 é um ponto ordinário da equação e encontrar os 5 primeiros termos da solução dessa EDO sabendo que sua relação de recorrência é a n + 2 = n - 1 a n ( n + 2 ) .

Calma, primeiro a gente precisa lembrar que EDO’s desse tipo ( P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0 ) possuem soluções por séries de potências. Essa solução, y ( x ) , vai estar centrada em um ponto x 0 , que pode ser igual a zero, mas que não pode anular o polinômio que acompanha a segunda derivada (no caso, P ( x ) ) pra ser chamado de ponto ordinário. Sacou?

Já a relação de recorrência é a relação entre os coeficientes da solução em série de potência que encontramos para a EDO. Nesse caso, ele já nos deu a relação. Então, o que a gente vai precisar fazer é atribuir valores de 0 a 4 (pra obter os 5 primeiros termos da solução) na solução geral:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 …

Em seguida, usar as condições iniciais y 0 = 2 e y ' 0 = 3 para obter o valor dos coeficientes que encontrarmos.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar verificando se x = 0 é um ponto ordinário da equação, como pede a questão. Como nós vimos no passo 1 , basta que P ( x ) seja diferente de 0 para que x = 0 seja um ponto ordinário. Nossa EDO tem a forma P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0 :

1 - x 2 y ' ' - x y ' + y = 0

Onde P x = 1 - x 2 , Q x = - x e R x = 1 . Assim, quando x = 0 , precisamos ter:

P 0 ≠ 0

1 - x 2 ≠ 0

Mas quando x = 0 , temos:

P 0 = 1 - 0 2

P 0 = 1 ≠ 0

Logo, P 0 ≠ 0 e, portanto, x = 0 é um ponto ordinário, como queríamos demonstrar.

Passo 3

Agora vamos avaliar a relação de recorrência da solução em série de potências:

a n + 2 = n - 1 a n ( n + 2 )

para n ≥ 0 , vamos encontrar os primeiros cinco termos não nulos da solução apenas atribuindo valores a n a partir de 0 . Assim, para n = 0 , temos:

a 0 + 2 = 0 - 1 a 0 ( 0 + 2 )     →     a 2 = - a 0 2

Para n = 1 , temos:

a 1 + 2 = 1 - 1 a 1 ( 1 + 2 )     →     a 3 = 0 ∙ a 1 3 = 0

Para n = 2 :

a 2 + 2 = 2 - 1 a 2 ( 2 + 2 )     →     a 4 = a 2 4

Mas a 2 = - a 0 2 , então:

a 4 = a 2 4 = - a 0 2 1 4 = - a 0 8

Continuando, para n = 3 , temos:

a 3 + 2 = 3 - 1 a 3 ( 3 + 2 )     →     a 5 = 2 a 3 5

Mas a 3 = 0 , então:

a 5 = 2 ∙ 0 5 = 0

Agora para n = 4 , temos:

a 4 + 2 = 4 - 1 a 4 ( 4 + 2 )     →     a 6 = 3 a 4 6

Como a 4 = - a 0 8 , temos:

a 6 = 3 6 - a 0 8 = - a 0 16

Agora vamos olhar o formato da nossa solução geral.

Passo 4

Temos a solução da forma:

y x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 …

Podemos substituir os termos que encontramos na solução para obter:

y x = a 0 + a 1 x - a 0 2 x 2 + 0 x 3 - a 0 8 x 4 + 0 x 5 - a 0 16 x 6 …

Aproximando a solução pelos 5 primeiros termos não nulos, temos:

y x ≈ a 0 + a 1 x - a 0 2 x 2 - a 0 8 x 4 - a 0 16 x 6

Essa já é a solução, mas a gente também pode colocar a 0 em evidência pra ficar mais bonitinho:

y x ≈ a 0 1 - 1 2 x 2 - 1 8 x 4 - 1 16 x 6 + a 1 x

Beleza, agora vamos verificar as condições iniciais condições iniciais y 0 = 2 e y ' 0 = 3 .

Passo 5

Para y 0 = 2 , temos:

y 0 ≈ a 0 + a 1 0 - a 0 2 0 2 - a 0 8 0 4 - a 0 16 0 6 = 2

Assim, multiplicando os termos, sobra:

a 0 = 2

Agora pra y ' 0 = 3 , temos que verificar a derivada da função no ponto. Derivando y ( x ) , temos:

y ' x = a 1 - a 0 x - 1 2 x 3 - 3 8 x 5

Em x = 0 :

y ' 0 = a 1 - a 0 ( 0 ) - 1 2 ( 0 ) 3 - 3 8 ( 0 ) 5

y ' 0 = a 1

Como y ' 0 = 3 é a condição inicial, temos:

a 1 = 3

Substituindo o valor de a 0 e a 1 na solução do passo 4 , ficamos com:

y x ≈ a 0 + a 1 x - a 0 2 x 2 - a 0 8 x 4 - a 0 16 x 6

y x ≈ 2 + 3 x - 2 2 x 2 - 2 8 x 4 - 2 16 x 6

Logo,

y x ≈ 2 + 3 x - x 2 - 1 4 x 4 - 1 8 x 6

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x = 0 é um ponto ordinário

y x ≈ 2 + 3 x - x 2 - 1 4 x 4 - 1 8 x 6

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Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.