Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

Ache a expansão em série de potências de f x = 1 x 2 - 1 em torno de x 0 = 0 .

Passo 1

Bom, primeiro vamos reescrever f ( x ) de maneira esperta!

f x = 1 x 2 - 1 = - 1 1 - x 2

Veja então que f ( x ) tem a cara da função:

f x = - 1 1 - a

Com a = x 2 .

Que é exatamente a fórmula da soma de uma PG de razão a e primeiro termo igual a - 1 .

Passo 2

Então, temos que

f x = - 1 1 - x 2 = - ∑ n = 0 ∞ x 2 n = - ∑ n = 0 ∞ x 2 n

Resposta

f x = - ∑ n = 0 ∞ x 2 n

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O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.