Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 697, 10(adaptado)

Encontre uma representação em série de potências para a função

f x = x 2 a 3 - x 3

Passo 1

Para representar a função em séries de potências é bom tentar comparar a função com a série geométrica!

Então é bom escrever a função de forma que apareça um termo semelhante a:

1 1 - x

Logo, vamos ver se conseguimos escrever f ( x ) de outra forma!

f x = x 2 a 3 - x 3

Para x 0 , podemos dividir o numerador e o denominador por x 2 :

f x = 1 a 3 x 2 - x

Continuamos não tendo nada que seja legal de ser comparado com a série geométrica... Então vamos fazer o seguinte,

f x = x 2 1 a 3 - x 3

Agora vamos escrever a fração como série de potências e multiplicar por x 2 , ficou bem mais fácil!

f x = x 2 a 3 1 1 - ( x / a ) 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Comparando 1 1 - ( x / a ) 3 com a série geométrica, teremos

1 1 - ( x / a ) 3 = n = 0 x 3 a 3 n

Passo 3

Por fim, vamos multiplicar por x 2 / a 3 ,

f x = x 2 a 3 1 1 - ( x / a   ) 3

f x = x 2 a 3 n = 0 x 3 a 3 n

f x = n = 0 x 3 n + 2 a 3 n + 1

Resposta

f x = n = 0 x 3 n + 2 a 3 n + 1

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