Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

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Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função

f x = x 2 a 3 - x 3

Passo 1

Para representar a função em séries de potências é bom tentar comparar a função com a série geométrica!

Então é bom escrever a função de forma que apareça um termo semelhante a:

1 1 - x

Logo, vamos ver se conseguimos escrever f ( x ) de outra forma!

f x = x 2 a 3 - x 3

Para x ≠ 0 , podemos dividir o numerador e o denominador por x 2 :

f x = 1 a 3 x 2 - x

Continuamos não tendo nada que seja legal de ser comparado com a série geométrica... Então vamos fazer o seguinte,

f x = x 2 ⋅ 1 a 3 - x 3

Agora vamos escrever a fração como série de potências e multiplicar por x 2 , ficou bem mais fácil!

f x = x 2 a 3 ⋅ 1 1 - ( x / a ) 3

Passo 2

Comparando 1 1 - ( x / a ) 3 com a série geométrica, teremos

1 1 - ( x / a ) 3 = ∑ n = 0 ∞ x 3 a 3 n

Passo 3

Por fim, vamos multiplicar por x 2 / a 3 ,

f x = x 2 a 3 ⋅ 1 1 - ( x / a   ) 3

f x = x 2 a 3 ⋅ ∑ n = 0 ∞ x 3 a 3 n

f x = ∑ n = 0 ∞ x 3 n + 2 a 3 n + 1

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ x 3 n + 2 a 3 n + 1

Exercícios de Livros Relacionados

O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.