Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Aceleração

Ver Teoria

Enunciado

1) Considere o movimento plano da barra AB mostrado no desenho, de comprimento 2 L , e articulada sem atrito pelas suas extremidades aos centros de dois discos idênticos de raio R. Os discos mantêm contato com a respectiva superfície e rolam sem escorregar, de modo que o ponto B percorre o eixo O y e o ponto A percorre o eixo O x . O referencial fixo é o solo e sabe-se que o vetor de rotação da barra AB é ω → = ω k → , com ω > 0 constante. A partir do instante inicial t 0 = 0 , quando temos θ t 0 = 90 ° . O sistema de coordenadas O i → j → k → é fixo.

São dados: L = 2,2 m , R = 0,3 m , ω = 3   r a d / s .

Para os itens (a) até (e) considere o sistema no instante inicial, quando a barra AB está na vertical ( θ = 90 ° ) .

a) Usando a propriedade fundamental da cinemática do corpo rígido, calcule a velocidade v B →   do ponto B.

b) Localize o centro instantâneo de rotação (CIR) do disco de centro A.

c) Localize o CIR da barra AB.

d) Determine o vetor de rotação Ω A →   do disco de centro A.

e) Calcule a aceleração a B → do ponto B da barra AB.

f) No instante em que a barra AB está a 45 °   ( θ = 45 ° ) , calcule a velocidade v C → do centro C da barra AB, expressando-a no sistema de coordenadas intrínseco.

Passo 1

Faaaaala pessoal! Todo mundo animado pra matar essa questão de mecânica?!

a) A primeira coisa que ela nos pede é para determinar a velocidade do ponto B, usando a propriedade fundamental da cinemática do corpo rígido. Essa propriedade está relacionada ao vínculo existente na barra AB, pois como ela é um corpo rígido, não pode se deformar. Logo, todos os pontos que a compõem precisam ter a mesma componente de velocidade na direção da barra. Então, a gente pode escrever que:

v A → ⋅ B - A = v B → ⋅ ( B - A )

No instante inicial, a barra AB está na vertical, assim:

B - A = 2 L j →

Agora precisamos estar muito ligados no enunciado pra pegar essa ideia. Como ele fala que o disco A rola sobre o eixo O x , devemos ter:

v A → = v A i →

Da mesma forma, também é falado que B percorre o eixo O y . Daí:

v B → = v B j →

Conseguiram entender? Beleza, vamos substituir tudo na nossa equação do vínculo.

v A i → ⋅ 2 L j → = v B j → ⋅ 2 L j →  

⇒ 0 =   v B j → ⋅ 2 L j → = 2 L v B

Assim, para essa equação ser verdadeira, chegamos a conclusão que no instante inicial:

v B = 0

Opaa, já foi a primeira letra. Simbora galeraa!!

Passo 2

b) Precisamos determinar a posição do centro instantâneo (CIR) de rotação do disco centrado em A.

Tem uma dica muito boa para determinarmos onde está o CIR:

- Escolhemos dois pontos do nosso corpo que sabemos o sentido das suas velocidades.- Traçamos duas retas perpendiculares às suas velocidades, passando pelos próprios pontos.

Onde ocorrer a intersecção, trata-se de um CIR. É por isso que pontos com velocidade nula são um CIR logo de cara.

No lugar da reta que traçaríamos perpendicular a velocidade desse ponto, como v = 0 , temos apenas o próprio ponto. De modo que ele, obrigatoriamente é um CIR.

Sendo assim, como é falado no enunciado que o disco A rola sem escorregar, o ponto de contato do disco com o solo será um CIR, como indica a figura acima.

Portanto:

C I R d =   - R j → =   - 0,3 j →

Passo 3

c) Devemos determinar o CIR da barra AB. Porém, já encontramos no item A que v B = 0 . Logo, B é um centro instantâneo de rotação para a barra AB. Portanto:

C I R b a r r a = 2 L j → = 4,4 j →

Passo 4

d) Agora precisamos calcular o vetor de rotação do disco centrado em A.

A ideia aqui é primeiro calcularmos a velocidade de A em função de ω . Daí, usando o fato de B ser um CIR para os pontos da barra (incluindo A), vem que:

v A → = ω k → × 2 L - j → =   2 L ω i →

Agora, sabendo que o vetor de rotação deverá obedecer a:

v A → = Ω A → × R - j → = Ω A k → × R - j → =   - Ω A R i →

Igualando os dois resultados, chegamos que:

2 L ω =   - Ω A R ∴ Ω A =   - 2 L ω R

Logo:

Ω A → = - 2 L ω R k →

Substituindo os dados da questão:

Ω A → = - 44 k →

Excelente! Já podemos ir para a próxima.

Passo 5

e) Nesse item devemos calcular a aceleração de B. À primeira vista pode parecer bem complicado, porque costumamos calcular acelerações identificando um ponto que já sabemos o valor de a → e usando a ideia de aceleração relativa.

Mas nessa questão, não temos nenhum ponto que logo de cara já sabemos quanto vale a sua aceleração. Lembra que até agora tudo que fizemos foi para t = 0 .

Uma boa opção nesses casos é voltar para a definição mais pura.

a B → = d 2 S B → d t 2

Onde S B → é o vetor posição de B em um instante qualquer.

Em um instante qualquer, a barra estará inclinada de um ângulo θ . O disco B, percorre sempre o eixo O y , logo podemos escrever que:

S B → = 0 ,   2 L s e n θ ,   0 = 2 L s e n θ j →

Derivando essa equação a primeira vez, temos:

v B → = d 2 L s e n θ j → d t = 2 L θ ˙ c o s θ j →

Derivando mais uma vez, temos:

a B → = d 2 L θ ˙ c o s θ j → d t = - 2 L θ ˙ 2 s e n θ j →

Massa! Como a derivada do ângulo é a velocidade angular ficamos com:

a B → =   = - 2 L ω 2 s e n θ j →  

Substituindo os dados:

a B → =   = - 39,6 s e n θ j →  

Prontinho, essa é a resposta 😉

Passo 6

f) Bom, precisamos determinar v C → no sistema de coordenadas intrínseco.

Mas vamos por partes, primeiramente bora determinar v C → e depois nos preocupamos com esse sistema intrínseco.

Para calcular v C → podemos usar a ideia do CIR. Seguido o procedimento mostrado no passo 2, somos capazes de encontrar a nova posição do CIR.

Beleza! Agora que encontramos o C I R b a r r a podemos usar que:

v C → = ω k → × r C I R , C = ω L 2 2 i → - 2 2 j →

O Sistema de coordenadas intrínseco é um sistema que usa a direção e sentido da velocidade para determinar um versor tangente.

Assim, teremos que:

t →   =   2 2 i → - 2 2 j →

Logo:

v C → = ω L t →

Substituindo os dados:

v c → =   6,6 t →

Aeeee, finalmente terminamos a questão!! Todo mundo entendeu direitinho?! Até a próxima gente!!

Resposta

a) v B = 0

b)

- 0,3 j →

c)

4,4 j →

d)

Ω A → = - 44 k →

e)

a B → =   = - 39,6 s e n θ j →  

f)

v c → =   6,6 t →

Exercícios de Livros Relacionados

Se a extremidade A da barra restrita possui uma velocidade constante para eixo v A de 2 m/s quando a barra passa pela posição para qual θ = 30 ° , determine a aceleração do centro de massa G no meio d
15.222. A placa circular mostrada na figura gira em torno de seu diâmetro vertical a uma taxa constante 1 10 rad /s. Sabendo que na posição mostrada o disco se encontra no plano XY e o ponto D da alça
O mecanismo de dois membros serve para amplificar o movimento angular. O membro AB tem um pino em B que está confinado a se deslocar dentro da ranhura do membro CD. Se, no instante mostrado, AB (entra
A argola é lançada na superfície áspera de maneira que ela tem uma velocidade angular ω = 4r a d / s e uma aceleração angular α = 5r a d / s 2 . Além disso, seu centro tem uma velocidade v O = 5m / s
O cilindro hidráulico D se estende com a velocidade v B = 1,2m / s e uma aceleração a B = 0,45m / s 2 . Determine a aceleração de A no instante mostrado.