Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Aceleração

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Enunciado

1) O mecanismo ilustrado na figura abaixo é constituído por 3 componentes: 1) um suporte ABOD (desenhado em azul) vinculado à articulação A e ao mancal radial B, que gira com velocidade angular constante ω 1 em torno do eixo vertical; 2) uma luva C (desenhada em verde), que desliza ao longo da haste OD do suporte ABOD com velocidade constante v relativa à haste; 3) um disco de raio R, solidário à luva C que gira em torno da haste OD com velocidade angular constante ω 2 . O sistema de referência móvel O x y z é ligado ao suporte ABOD e, no instante mostrado na figura, o ponto P da periferia do disco encontra-se na posição ( x C ,   0 ,   R ) . Nota: Todas as respostas devem ser expressas no sistema de coordenadas O x y z .

Pedem-se:

a) A velocidade absoluta do ponto C.

b) A aceleração absoluta do ponto C;

c) O vetor rotação absoluta do disco;

d) O vetor aceleração rotacional absoluta do disco;

e) A velocidade absoluta do ponto P;

f) A aceleração absoluta do ponto P.

Passo 1

Faaaala galerinha do Responde Aí!!! Bora destruir mais uma questão!

a) Bom, pra começar nossa questãozinha (que de pequena não tem nada), devemos calcular a velocidade absoluta do ponto C.

O movimento do ponto C é a composição de dois movimentos: translação da luva C e rotação do suporte. Daí, podemos escrever que:

v C → = v i → +   ω 1 k → × x C i → = v i →   + ω 1 x C j →

Prontinho, essa foi rápida. Bora pra próxima!

Passo 2

b) Agora devemos determinar a aceleração absoluta do ponto C.

Beleza! Aqui temos um caso complicado de aceleração porque há muitos movimentos na composição, além de que o sistema de referência é móvel o que gera uma aceleração de coriolis. Mas calma, a gente só precisa aplicar o método!

Em casos complexos como esse, devemos usar a seguinte fórmula para cálculo da aceleração absoluta:

a C → = a → C , r e l + a → C ' + a → C , c  

Onde:

a → C , r e l : aceleração do ponto C em relação ao sistema móvel.

a → C ' : aceleração do ponto C’ do corpo rígido que coincide com a partícula C (nesse caso, nossa luva) no instante considerado.

  a → C , c : aceleração de Coriolis.

Ótimo, reduzimos o nosso problema a outros 3 problemas menores. Vamos calcular cada uma dessas acelerações separadamente:

1) Cálculo de a → C , r e l :

Esse primeiro caso é bem tranquilo, porque o sistema móvel também está girando junto com o ponto C. A única diferença nos movimentos, é que a luva está transladando na haste OD com velocidade constante v k → .

Mas pensa comigo, se estamos interessado na aceleração relativa, e o único movimento do ponto C (diferente da rotação do sistema móvel) possui velocidade constante, a aceleração relativa é nula. Certo? Conseguiram pegar a ideia?!

2) Cálculo de a → C ' :

Aqui temos a composição de dois movimentos. É como se fosse a aceleração que usaríamos caso não tivéssemos um sistema de referencial móvel girando, gerando também uma aceleração de coriolis. Ou seja:

a → C ' = a → o +   ω 1 ˙ k → × x c i → +   ω 1 k → × ω 1 k → × x c i →

Como ω 1 é constante, ω 1 ˙   é nulo. Além disso, o ponto da origem do sistema móvel tem aceleração nula, daí:

a → C ' = 0 → + 0 → - ω 1 2 x c i → = - ω 1 2 x c i →  

3) Cálculo de   a → C , c :

Sabemos que a aceleração de coriolis pode ser calculada pela fórmula:

    a → C , c = 2 ω 1 k → × v → C , r e l  

Mas, a velocidade relativa de C ao sistema móvel é apenas a velocidade do movimento de translação, daí:

v → C , r e l = v i →

Substituindo, temos:

a → C , c = 2 ω 1 v j →

Aeee, finalmente encontramos tudo. Agora é só substituir na nossa fórmula geral da aceleração:

a C → = a → C , r e l + a → C ' + a → C , c =   - ω 1 2 x c i → + 2 ω 1 v j →  

Prontinho 😊

Passo 3

c)

Aqui precisamos calcular o vetor rotação absoluta do disco.

Basicamente, a ideia é que precisamos considerar todos os movimentos de rotação realizados pelo disco para encontrar o vetor rotação.

Devido ao movimento do próprio disco, ele rotaciona em torno de C com ω → 2 =   ω 2 i → .

Já devido ao movimento de rotação da haste OD, o disco também está rotacionando em torno do eixo z , com velocidade angular ω → 1 =   ω 1 k → .

Beleza, agora é só somar.

ω → =   ω 1 k → + ω 2 i →  

Passo 4

d) Devemos calcular o vetor aceleração rotacional do disco. Para isso, basta usarmos nossa fórmula:

a → = a → r e l + a → a r + a → c

- a → r e l é a derivada da velocidade relativa do ponto do corpo rígido onde o disco está no instante considerado. Mas, como ω 1 é constante, essa derivada é nula. Logo: a → r e l = 0 → .

- a → a r é a derivada da velocidade relativa do disco no seu movimento de rotação próprio. Mas, novamente, como ω 2 é constante, essa derivada é nula. Logo: a → a r = 0 → .

- a → c =   ω 1 k → × ω 2 i → =   ω 1 ω 2 j →

Logo:

a → =   ω 1 ω 2 j →  

Passo 5

Calma galerinha, só faltam duas letras. Estamos quase lá!

e) Aqui precisamos determinar a velocidade absoluta do ponto P. A ideia é usarmos alguns resultados que já calculamos anteriormente pra facilitar nosso trabalho.

Pensa comigo, uma das melhores formas que temos de calcular v → P é:

v → P = v → C + ( ω 1 k → + ω 2 i → ) × ( P - C )  

Essa forma é muito boa porque já conhecemos v → C do item (a). Daí:

v → P = v i →   + ω 1 x C j → +   ω 2 i → × R k → =   v i →   + ω 1 x C j → - ω 2 R j →

Por fim:

v → P = v i → + ω 1 x C - ω 2 R j →

Passo 6

f)

Devemos calcular a aceleração absoluta do ponto P. Nesse caso, também podemos usar o ponto C para nos dar uma ajudinha, pois já calculamos a aceleração absoluta desse ponto. Daí, podemos fazer:

a → P = a → C + a → P , C = a → C + a → × P - C + ω → × ( ω → × P - C )

Substituindo os valores de a →   , ω → e a → C que já encontramos nos outros itens, como também que P - C = R k → , ficamos com:

a → P =   - ω 1 2 x c i → + 2 ω 1 v j → + ω 1 ω 2 j → × R k → + ( ω 1 k → + ω 2 i → ) × ( ω 1 k → + ω 2 i → × R k → )    

Muita conta né?! Eu sei ☹. Mas não tem muito pra onde correr, é respirar fundo e dar o gás final nessa questão.

Resolvendo essas continhas padarianas (só que não), chegamos a:

a → P = 2 ω 1 ω 2 R -   ω 1 2 x c i → + 2 ω 1 v j → - ω 2 2 R k →

Conseguimos galeraaa!! Finalmente terminamos essa questão. Agora é beber uma água, descansar um pouquinho, e partir pra próxima!

Resposta

a) v C → = v i →   + ω 1 x C j →

b)

a C → = - ω 1 2 x c i → + 2 ω 1 v j →

c)

ω → =   ω 1 k → + ω 2 i →

d)

a → =   ω 1 ω 2 j →  

e) v → P = v i → + ω 1 x C - ω 2 R j →

f) a → P = 2 ω 1 ω 2 R -   ω 1 2 x c i → + 2 ω 1 v j → - ω 2 2 R k →

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