Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Aceleração

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Enunciado

02) A peça A B C D E gira em torno do eixo vertical z com velocidade angular constante ω → 1 = ω 1 k → , transportando em sua extremidade E um disco de raio R , o qual, por sua vez, gira com velocidade angular ω → 2 = ω 2 j → ( ω 2 constante) em relação à peça A B C D E . Utilizando o sistema de referência B x y z , solidário à peça A B C D E , e considerando o instante ilustrado na figura, determine:

a) o vetor rotação absoluta do disco;

b) o vetor aceleração rotacional absoluta do disco;

c) as velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P do disco.

d) as acelerações relativas, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto P   do disco.

Passo 1

Faaala galera, tudo bom com vocês?

a) Nesse exercício temos um problema bem recorrente em mecânica: um disco que gira em torno do eixo j → , acoplado a uma peça que gira em torno do eixo k → .

No item a) precisamos determinar o vetor rotação absoluta do disco, vocês lembram o que é esse vetor?

Basicamente, ele é o vetor resultante das rotações realizadas pelo corpo, sacou?

Então, se o nosso disco realiza rotação em torno de dois eixos, o vetor resultante da rotação deve ser a soma da componente em cada um dos eixos. Logo:

ω → a b s =   ω 1 k → +   ω 2 j →

Prontinho, bem simples né?

Passo 2

b) Já nesse item precisamos determinar o vetor aceleração rotacional do disco. Aqui, o conceito de aceleração rotacional é um pouquinho diferente.

Ele também tem a mesma ideia de aceleração resultante de rotação para um corpo que gira em mais de um eixo. Porém é muito importante lembrar que, em casos como esse, surge a aceleração de Coriolis, e aí precisamos considerá-la também no cálculo da aceleração rotacional.

α → a b s = α → d i s c o + α → A B C D E +   ω 1 k → × ω 2 j →

Como as velocidades angulares do disco e da estrutura A B C D E são constantes, temos:

α → d i s c o = 0

α → A B C D E = 0

Logo:

α → a b s =   - ω 1 ω 2 i →

Muito bom! Pegaram a ideia?

Passo 3

c) Agora vamos passar a analisar o ponto P do disco.

Pra começar, devemos determinar a velocidade absoluta, relativa e de arrastamento de P .

Beleza, mas e como é que faz isso?

Bom, é que uma ideia muito recorrente em mecânica é imaginarmos o movimento do corpo como a composição de dois movimentos:

  1. Movimento em relação a um ponto do próprio corpo. Por exemplo, no caso dessa questão, podemos imaginar o movimento de P em relação a E , o centro do disco.
  2. Movimento em relação a um referencial fora do corpo, e que enxerga o movimento do ponto que coincide com P no instante considerado. Isso é basicamente pra, nesse caso por exemplo, a gente olhar apenas a influência da rotação de A B C D E   no movimento de P , tão ligados?

Ou seja, resumindo tudo, dividimos o movimento na parcelada devida à rotação do disco (relativa) e na parcela devida à rotação da estrutura (arrastamento). Daí, podemos escrever:

v → r e l =   v → E , r e l +   ω 2 j → × ( P - E )

Em relação a E , é claro que o próprio ponto E está parado. Além disso, no instante considerado na figura do enunciado, temos:

P - E = R i →  

Show, daí temos:

v → r e l =   ω 2 j → × R i →

v → r e l =   - ω 2 R k →

Massa!

Bora calcular agora v → a r r e depois v → a b s .

Pra calcular a velocidade de arrastamento, podemos imaginar o movimento do ponto que coincide com P (igual falamos ali em cima) em relação a um referencial em B , por exemplo. Daí:

v → a r r = v → B +   ω 1 k → × ( P - B )

Lembrando que

P - B = ( 2 L + R ) i → -   L k →

Substituindo, temos:

v → a r r = 0 → + ω 1 k → × 2 L + R i → -   L k →

⇒ v → a r r =   ω 1 2 L + R j →

Excelente! Pra finalizar esse item, bora calcular v → a b s , que é basicamente:

v → a b s = v → r e l + v → a r r

∴ v → a b s = ω 1 2 L + R j →   - ω 2 R k →

Prontinho! Falta só mais um item, vamo simboraaaa!

Passo 4

d) No último item precisamos calcular a aceleração relativa, de arrastamento, de coriolis e absoluta do ponto P .

Como vimos no item c), pra calcular a aceleração relativa podemos tomar o ponto E como referência. Daí:

a → P r e l = a → E , r e l + α d i s c o × P - E +   ω 2 j → × ( ω 2 j → × P - E )

Como a E , r e l = 0 e α d i s c o = 0 , temos:

a → P r e l =   - ω 2 2 R i →

Pensando agora na aceleração de arrastamento, podemos novamente tomar o ponto B como referência. Logo:

a → P a r r = a → B + α → 1 × P - B +   ω 1 k → × ( ω 1 k → × P - B )

Mas lembra que estamos fazendo tudo em relação a B, logo a → B = 0 . Além disso, ω 1 é constante, o que implica em α 1 = 0 . Daí:

a → P a r r =   - ω 1 2 2 L + R i →

Top! Será que agora é só somar os dois resultados pra achar a → a b s ?

Nãaaao hahaha, como vimos antes, não podemos esquecer da aceleração de Coriolis.

a → c o r = 2 ω 1 k → × v → P , d i s c o  

Mas, a velocidade de P em relação ao disco, pode ser dada por:

v → P , d i s c o = ( - ω 2 R k → )

Logo:

a → c o r =   2 ω 1 k → × ( - ω 2 R k → )

∴ a → c o r = 0 →

Prontoo, agora sim podemos somar. Temos:

a → P = a → P r e l + a → P a r r + a → c o r

a → P =   a → P r e l =   - ω 2 2 R i → - ω 1 2 2 L + R i → + 0 →

Logo, pra finalizar a questão:

a → P = - ω 2 2 R - ω 1 2 2 L + R i →

Ufaa! Lá se foi mais uma questaozita.

Aproveita agora pra dar uma respirada, tomar uma água, e já volta na próxima questão 😊

Resposta

a) ω → a b s =   ω 1 k → +   ω 2 j →

b) α → a b s =   - ω 1 ω 2 i →

c) v → r e l =   - ω 2 R k →

v → a r r =   ω 1 2 L + R j →

v → a b s = ω 1 2 L + R j →   - ω 2 R k →

d)

a → P r e l =   - ω 2 2 R i →

a → P a r r =   - ω 1 2 2 L + R i →

a → c o r = 0 →

a → P = - ω 2 2 R - ω 1 2 2 L + R i →

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