Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Aceleração

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 281-5/131

Determine a a ) aceleração angular da barra A B e b ) a aceleração linear de A para θ = 90 ° se θ ˙ = 0 e θ ¨ = 3   r a d / s 2 nessa posição. Desenvolva sua solução usando notação vetorial.

Passo 1

Vamos começar analisando as velocidades. Repare que as barras não possuem velocidade angular, pois foi dito no enunciado que θ ˙ = 0 :

ω O B = ω A B = 0

Vamos ter que a velocidade do ponto A será:

v → A = v → B + ω → A B × r → A / B

Como a velocidade angular é nula, vamos ter que:

v → A = v → B

Como o ponto B realiza um movimento circular em torno do ponto O , podemos calcular a velocidade deste ponto assim:

v B = ω O B r

Opa, mas a velocidade angular da barra é zero. Então:

v A = v B = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos fazer a análise das acelerações. Quando θ = 90 ° vamos ter:

Podemos achar a aceleração do ponto B , já que sabemos a aceleração angular da barra O B :

a B = α r     →         a B = 3 0,4

a B = 1,2   r a d / s 2

Vetorialmente temos que o vetor a → B aponta no sentido negativo do eixo y :

a → B = - 1,2 j ^   r a d / s 2  

Nossa equação da aceleração do ponto A vai ser:

a → A = a → B +   α → A B × r → A B - ω A B 2 r → A / B

Como ω A B = 0 , então nos resta:

a → A = a → B +   α → A B × r → A B

Passo 3

Vamos decompor nossos vetores no eixo x y para fazer a soma vetorial. Vamos começar pelo vetor r → A B :

Por teorema de Pitágoras conseguimos achar o valor de x :

0,5 2 = x 2 + 0,4 2       →         x = 0,5 2 - 0,4 2

x = 0,3   m

Então, podemos escrever nosso vetor r → A B assim:

r → A B = - 0,3 i ^ + 0,4 j ^   m

Sabemos que o vetor aceleração angular da barra A B está no eixo Z . Vamos arbitrar um sentido para ele e depois verificamos se está certo. Vamos colocar o vetor α → A B como positivo no eixo z :

α → A B = a A B k ^

E o vetor aceleração do ponto A ( a → A ) ?   Esse é o vetor que queremos determinar, mas sabemos que ele está no eixo x , pois o ponto A só pode se mover na horizontal:

a → A = a A i ^

Então, vamos ter que:

a → A = a → B +   α → A B × r → A B       →           a A i ^ = - 1,2 j ^ + a A B k ^ × - 0,3 i ^ + 0,4 j ^

Passo 4

Vamos fazer o produto vetorial:

α → A B × r → A B = a A B k ^ × - 0,3 i ^ + 0,4 j ^

Nossa matriz vai ficar:

i ^ j ^ k ^ 0 0 a A B - 0,3 0,4 0 = i ^ 0 a A B 0,4 0 - j ^ 0 a A B - 0,3 0 + k ^ 0 0 - 0,3 0,4

α → A B × r → A B = ( - 0,4 a A B i ^ - 0,3 a A B j ^ )

Vamos substituir isso na nossa equação:

a A i ^ = - 1,2 j ^ + a A B k ^ × - 0,3 i ^ + 0,4 j ^

a A i ^ = - 1,2 j ^ + ( - 0,4 a A B i ^ - 0,3 a A B j ^ )

Agora é só separarmos as equações de acordo com suas componentes:

E m   x       →           a A = - 0,4 a A B

E m   y     →         0 = - 1,2 - 0,3 a A B

Da segunda equação podemos determinar o valor de a A B :

0 = - 1,2 - 0,3 a A B     →         a A B = - 4   r a d / s 2

O sinal negativo indica que escolhemos o sentido errado do vetor α → A B , ou seja, ele aponta no sentido negativo do eixo z :

α → A B = - 4 k ^   r a d / s 2

Pela primeira equação vamos achar o valor da aceleração no ponto A :

a A = - 0,4 a A B       →         a A = - 0,4 ( - 4 )

a A = + 1,6   m / s 2

Repare que o valor deu positivo, isso significa que o sentido que arbitramos para o vetor a → A está certo. Ou seja, ele deve ficar assim:

a → A = 1,6   i ^   m / s 2

Resposta

a )   α → A B = - 4 k ^   r a d / s 2

b )   a → A = 1,6   i ^   m / s 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas