Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Aceleração

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Enunciado

Num dado instante, o volante está girando com a velocidade e a aceleração angulares indicadas na figura. Determine a aceleração do bloco B , nesse instante.

Passo 1

O que queremos saber é a aceleração do ponto B , então vamos escrever a nossa equação da aceleração relativa assim:

a → B = a → A + α → A B × r → B / A - ω A B 2 r → B / A

Repare que não sabemos a aceleração angular da barra A B , mas podemos usar a equação da velocidade do ponto B para achá-la:

v → B = v → A + ω → A B × r → B / A

A posição r → B / A é:

r → B / A = 0,5 cos ⁡ 45 ° i ^ + 0,5   s e n   45 ° j ^

r → B / A = ( 0,354 i ^ + 0,354 j ^ )   m

A velocidade do ponto A podemos achar pela equação:

v → A = ω → v o l a n t e × r → v o l a n t e

A velocidade angular do volante é negativa, pois está girando no sentido horário:

ω → v o l a n t e = - 2 k ^

E a posição do ponto A com relação ao centro do volante é:

r → v o l a n t e = r → A / O = 0,3 cos ⁡ 60 ° i ^ - 0,3   s e n   60 ° j ^

r → v o l a n t e = 0,15 i ^ - 0,26 j ^   m

Então, a velocidade do ponto A será:

v → A = ω → v o l a n t e × r → v o l a n t e       →           v → A = - 2 k ^ × 0,15 i ^ - 0,26 j ^

Resolvendo esse produto vetorial temos:

v → A = - 0,519 i ^ + 0,3 j ^   m / s

Passo 2

Agora sim podemos achar o valor da velocidade angular da barra A B usando a equação da velocidade do ponto B :

v → B = v → A + ω → A B × r → B / A

v → B = - 0,519 i ^ + 0,3 j ^ + ω → A B × ( 0,354 i ^ + 0,354 j ^ )

Repare que o ponto B só pode se mover no eixo y , então vamos arbitrar a velocidade como positiva:

v → B = v B j ^

E vamos arbitrar o sentido da velocidade angular da barra A B como positivo:

ω → A B = ω A B k ^

Então, o produto vetorial fica:

i ^ j ^ k ^ 0 0 ω A B 0,354 0,354 0 = i ^ 0 ω A B 0,354 0 - j ^ 0 ω A B 0,354 0 + k ^ 0 0 13,856 0,354

ω → A B �� r → B / A = - 0,354 ω A B i ^ + 0,354 ω A B j ^

Substituindo isso na nossa equação:

v B j ^ = - 0,519 i ^ + 0,3 j ^ + ω A B k ^ × ( 0,354 i ^ - 0,354 j ^ )

v B j ^ = - 0,519 i ^ + 0,3 j ^ - 0,354 ω A B i ^ + 0,354 ω A B j ^

Agora vamos somar os termos de mesma componente:

E m   x :             0 = - 0,519 - 0,354 ω A B

E m   y :             v B = 0,3 + 0,354 ω A B

Da equação em x podemos achar o valor de ω A B :

0 = - 0,519 + 0,354 ω A B       →           ω A B = - 1,47   r a d / s

Como o resultado deu negativo, significa que arbitramos o sentido contrário:

ω → A B = - 1,47   k ^   r a d / s

Como não vamos precisar do valor de v B , vamos deixa-lo pra lá!

Passo 3

O que queremos saber é a aceleração do ponto B , certo? Então, vamos resgatar a equação lá do início:

a → B = a → A + α → A B × r → B / A - ω A B 2 r → B / A

Vamos substituir o que já temos:

a → B = a → A + α → A B × ( 0,354 i ^ + 0,354 j ^ )   - - 1,47 2 ( 0,354 i ^ + 0,354 j ^ )

Ou seja, precisamos achar a aceleração do ponto A e a aceleração angular da barra A B .

Vamos começar pela aceleração do ponto A :

a → A = α → v o l a n t e × r → v o l a n t e - ω v o l a n t e 2 r → v o l a n t e

Sabemos que a velocidade angular do volante é negativa, pois está girando no sentido horário:

α → v o l a n t e = - 6 k ^   r a d / s 2

Então:

a → A = - 6 k ^ × 0,15 i ^ - 0,26 j ^ - - 2 2 ( 0,15 i ^ - 0,26 j ^ )

a → A = - 6 k ^ × 0,15 i ^ - 0,26 j ^ - 0,6 i ^ + 1,04 j ^

Resolvendo o produto vetorial temos:

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 6 0,15 - 0,26 0 = i ^ 0 - 6 - 0,26 0 - j ^ 0 - 6 0,15 0 + k ^ 0 0 0,15 - 0,26

- 6 k ^ × 0,15 i ^ - 0,26 j ^ = - 1,56 i ^ - 0,9 j ^

Substituindo isso vamos ter:

a → A = - 1,56 i ^ - 0,9 j ^ - 0,6 i ^ + 1,04 j ^

a → A = ( - 2,16 i ^ + 0,14 j ^ )   m / s 2

E a aceleração angular da barra A B vamos arbitrar como positiva:

α → A B = α A B k ^

Passo 4

Agora vamos substituir essas coisas na equação da aceleração do ponto B :

a → B = a → A + α → A B × ( 0,354 i ^ + 0,354 j ^ )   - - 1,47 2 ( 0,354 i ^ + 0,354 j ^ )

a → B = - 2,16 i ^ + 0,14 j ^   + α A B k ^ × ( 0,354 i ^ + 0,354 j ^ )   - - 1,47 2 ( 0,354 i ^ + 0,354 j ^ )

Repare que o ponto B só pode se mover na vertical, então a sua aceleração é:

a → B = a B j ^

Vamos arbitrar como positiva!

Então, vamos ter que:

a B j ^ = - 2,16 i ^ + 0,14 j ^   + α A B k ^ × 0,354 i ^ + 0,354 j ^ - 0,765 i ^ - 0,765 j ^  

Vamos resolver o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 α A B 0,354 0,354 0 = i ^ 0 α A B 0,354 0 - j ^ 0 α A B 0,354 0 + k ^ 0 0 0,354 0,354

α A B k ^ × 0,354 i ^ - 0,354 j ^ = - 0,354 α A B i ^ + 0,354 α A B j ^

Substituindo isso aí na nossa equação:

a B j ^ = - 2,16 i ^ + 0,14 j ^ - 0,354 α A B i ^ + 0,354 α A B j ^ - 0,765 i ^ - 0,765 j ^

Agora vamos separar as componentes:

E m   x :             0 = - 2,16 - 0,354 α A B - 0,765

E m   y :           a B = 0,14 + 0,354 α A B + 0,765

Da primeira equação podemos determinar o valor de α A B :

0 = - 2,16 - 0,354 α A B - 0,765       →       -   0,354 α A B = 2,925

α A B = - 8,27   r a d / s 2

E finalmente podemos achar o valor da aceleração do ponto B :

a B = 0,14 + 0,354 - 8,27 - 0,765

a B = - 3,55   m / s 2

Então:

a B = - 3,55 j ^   m / s 2

Resposta

a B = - 3,55 j ^   m / s 2

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