Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Aceleração

Ver Teoria

Enunciado

3) A figura ao lado ilustra um mecanismo constituído por um aro fixo de raio 5 r e dois discos, um de centro A e raio 2 r e outro de centro B e raio r , ambos articulados a uma treliça A O B , a qual, por sua vez, é articulada em O , centro fixo do aro. O dispositivo assim construído mantém os discos em contato permanente com a superfície interna do aro. Ambos os discos realizam movimento de rolamento sem escorregamento. Sabendo que a velocidade angular do disco de centro A é ω 1 (constante) e utilizando i → ,   j → ,   k → indicada na figura, pede-se:

a) a velocidade do ponto A.

b) o módulo da velocidade angular do disco de centro B.

c) a velocidade do ponto B.

d) o módulo da velocidade angular da treliça.

e) a aceleração do ponto A.

f) a aceleração do ponto de contato entre o disco de centro A e o aro.

Passo 1

Ooi pessoal, tudo certinho com vocês?

Bora matar mais uma questão de mecânica!

a)

Nesse item é pedido apenas a velocidade do ponto A, centro do disco de raio 2 r .

Aqui é bem importante usarmos o fato de que os discos estão realizando movimento de rolamento sem escorregamento, então a velocidade do ponto de contato do disco com o Aro é sempre nula.

Daí, esses pontos vão funcionar como centro instantâneo de rotação para os seus centros.

Por isso, podemos escrever que:

v A → = ω 1 → × r A → =   - ω 1 ⋅ k → × 2 r ⋅ j → = 2 ω 1 r ⋅ i →

Pronto, já matamos a letra a. v A → = 2 ω 1 r ⋅ i →

Passo 2

b)

Agora, devemos calcular a velocidade angular do disco de centro B e raio r .

Temos que ter uma sacadinha, só olhando pro disco e pro aro não sai uma equação que nos ajude a encontrar ω 2 . Logo vamos olhar pra nossa treliça, mais especificamente para a barra A B .

Sempre que tiver uma barra envolvida no problema, tem uma equação muito importante que conseguimos escrever. É a equação do vínculo da barra. Ela leva em conta que, como a barra é rígida (ou seja, tem um tamanho fixo), as componentes da velocidade dos pontos da barra na direção A B precisam ser iguais.

Então, tomando os pontos A e B, vale que:

v A A B = v B A B

Para pegar as componentes das velocidades nessa direção, basta multiplicar as suas velocidades absolutas pelo vetor ( B - A ) . Daí:

v A → ⋅ B - A = v B → ⋅ ( B - A )

Utilizando o ponto de contato do disco com o aro como um centro instantâneo de rotação para B, podemos escrever que: v B → = ω 2 →   × r B → = ( - ω 2 ) k → × r - i → =   ω 2 r ⋅ j →

Considerando o centro O   do aro como origem dos eixos, temos que:

B - A = 4 r i → - - 3 r j → = 4 r i → + 3 r j →

Logo:

2 ω 1 r i → ⋅ 4 r i → + 3 r j → = ω 2 r j → ⋅ 4 r i → + 3 r j →

⇒ 8 ω 1 r 2 = 3 ω 2 r 2 ∴ ω 2 = 8 ω 1 3  

Boa, conseguimos achar ω 2 . Vale a pena guardar com carinho essa equação do vínculo da barra gente!

Passo 3

c) Agora, devemos calcular a velocidade de B, centro do disco de raio r . Como já sabemos a velocidade angular desse disco, e pelo item anterior também temos uma expressão para v B → em função de ω 2 , ficamos com:

v B → =   ω 2 r ⋅ j → =   8 ω 1 3 r ⋅ j →

Prontinho 😊

Passo 4

d)

Nesse item precisamos calcular o módulo da velocidade angular da treliça.

O raciocínio de centro instantâneo de rotação também é bem-vindo nesse caso. Se pararmos pra pensar, como o ponto O é fixo, ele funciona exatamente como um C.I.R para os pontos da treliça. Assim, podemos escrever que:

v A → = ω → × ( A - O )

Onde ω → é a velocidade angular da treliça e ( A - O ) é o vetor distância entre a origem e o ponto A. Logo:

v A → = - ω ⋅ k → × - 3 r ⋅ j → = 3 ω r ⋅ i →

Mas, do item a, nós já conhecemos v A → , igualando as duas expressões temos:

2 ω 1 r = 3 ω r ∴ ω = 2 ω 1 3

Perfeito!

Passo 5

e) Calma pessoal, a questão é longa, mas já tá chegando no fim. E agora vem umas ideias um pouco diferentes. Queremos calcular a aceleração do ponto A, que é o centro do disco de raio 2 r . Como tem várias coisas girando nessa questão, precisamos calcular a aceleração de A relativa a algum ponto.

E qual que é o melhor ponto pra gente escolher? Exatamente aquele que está parado Rs, o ponto O. Como ele está parado, essa aceleração já vai ser absoluta, nos poupando um pouquinho de trabalho. Relembrando a nossa fórmula de aceleração relativa, temos que:

a A → = a O → + α → × r A O → - ω 2 r A O →

Como nessa questão as velocidades angulares são todas constantes, a aceleração angular é nula. Além disso, como já falamos, O é um ponto fixo daí a O → = 0 . Substituindo os outros dados necessários, chegamos a:

a A → =   - 2 ω 1 3 2 ⋅ - 3 r j →   = 4 ω 1 2 r j → 3

Agora só falta mais uma letra pessoal, não vamos morrer na beira da praia né?! Let’s go!

Passo 6

f)

Finalmente, nesse último item, precisamos calcular a aceleração a →   do ponto C . E realmente pessoal, agora que já calculamos a aceleração do ponto A, faz bastante sentido essa pergunta. Porque podemos utilizar um raciocínio igual ao do item anterior, mas agora calculando a C → em relação a A. Daí, usando nossa fórmula para aceleração relativa, vem que:

a C → = a A → + α A → × r → - ω 1 2 r A →

Bom, novamente como a velocidade angular é constante, temos que a A = 0 . Substituindo os dados já encontrados durante essa pequenina questão, teremos que:

a C → = 4 ω 1 2 r 3 j → -   ω 1 2 ⋅ - 2 r j → = 10 ω 1 2 r 3 j →

⇒ a C → = 10 ω 1 2 r 3 j →  

Espero que vocês tenham entendido direitinho, até a próxima pessoal!

Resposta

a) v A → = 2 ω 1 r ( i → )

b)

ω 2 = 8 ω 1 3

c)

v B → =   8 ω 1 3 r ( j → )

d)

ω = 2 ω 1 3

e)

a A → =   4 ω 1 2 r j → 3

f)

a C → = 10 ω 1 2 r 3 j →

Exercícios de Livros Relacionados

Se a extremidade A da barra restrita possui uma velocidade constante para eixo v A de 2 m/s quando a barra passa pela posição para qual θ = 30 ° , determine a aceleração do centro de massa G no meio d
15.222. A placa circular mostrada na figura gira em torno de seu diâmetro vertical a uma taxa constante 1 10 rad /s. Sabendo que na posição mostrada o disco se encontra no plano XY e o ponto D da alça
O mecanismo de dois membros serve para amplificar o movimento angular. O membro AB tem um pino em B que está confinado a se deslocar dentro da ranhura do membro CD. Se, no instante mostrado, AB (entra
A argola é lançada na superfície áspera de maneira que ela tem uma velocidade angular ω = 4r a d / s e uma aceleração angular α = 5r a d / s 2 . Além disso, seu centro tem uma velocidade v O = 5m / s
O cilindro hidráulico D se estende com a velocidade v B = 1,2m / s e uma aceleração a B = 0,45m / s 2 . Determine a aceleração de A no instante mostrado.