Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Aceleração

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Enunciado

01) Na figura mostrada, temos o ponto P descrevendo uma trajetória circular. Por isso, observe que os movimentos em x e y estão relacionados.

Se o movimento em y é dado por y t = 200 ⋅ t - 20 ⋅ t 2 , pede-se, para o instante t = 1 s :

a) as velocidades e acelerações do ponto P , em coordenadas retangulares;

b) as velocidades e acelerações do ponto P em coordenadas n - t ;

c) o raio de curvatura da trajetória de P .

Passo 1

Faaaaala galerinha do Responde Aí, tudo certo com vocês?

Bora matar mais uma questãozinha de mecânica!

a) Pra começar, temos uma estrutura na qual o ponto P realiza uma rotação em torno da origem do sistema de coordenadas retangulares. Precisamos determinar a velocidade e aceleração do ponto P nesse tipo de coordenadas quando t = 1 s .

O que é legal, é que já foi dada a posição y ( t ) do ponto P . Assim, já podemos calcular v y ( t ) e a y ( t ) , pois:

v y t = d y d t = 200 t - 20 t 2 ' = 200 - 40 t

a y t = d v y d t =   - 40

Show, então quando t = 1 s ficamos com:

v y 1 = 200 - 40 ⋅ 1 = 160   m m / s

a y =   - 40   m m / s 2

Beleza, a primeira parte já foi. Precisamos agora calcular v x t e a x ( t ) .

O que é muito importante ficarmos atentos nessa questão, é que o ponto P descreve uma trajetória circular, cuja circunferência está centrada em 0,0 e possui raio R = 350   m m . Daí, a equação dessa circunferência, vale:

x - 0 2 + y - 0 2   =   R 2

∴ x = R 2 - y 2

Usando a equação de y em função do tempo na expressão acima, também vamos ter x em função do tempo. Daí, pra encontrar a velocidade e aceleração, basta derivarmos, bem semelhante ao que fizemos para v y e a y .

v x t = d x d t   = R 2 - y 2 1 2 ' = - 2 y ⋅ y ' R 2 - y 2

Como queremos saber apenas v x ( 1 ) , podemos substituir t = 1   na expressão acima. Usando que:

y 1 = 180   m m

y ' 1 = v y 1 = 160   m m / s

Logo:

v x t =   - 191,89   m m / s

Agora vai dar um trabalhinho algébrico, que inclusive é um dos motivos das coordenadas retangulares não serem tão indicadas para esse tipo de movimento, mas bora lá, sem preguiça haha. Lembrando que aqui é necessário utilizar a regra da cadeira e do produto:

a x t = d v x d t = - 2 y ⋅ y ' R 2 - y 2 '

= - 2 y ⋅ y ' ⋅ R 2 - y 2 - 1 2 ' + - 2 y ⋅ y ' ' ⋅ 1 R 2 - y 2               ( 1 )

Beleza, com cuidado pra não errar continhas, vamos calcular a derivada desses dois termos:

R 2 - y 2 - 1 2 ' = - 1 2 ⋅ - 2 y ⋅ y ' R 2 - y 2 3 2

- 2 y ⋅ y ' ' =   - 2 y ' 2 +   - 2 y ⋅ y ' '

Top, substituindo na nossa equação 1 , vem que:

a x t =   - 2 y ⋅ y ' ⋅ - 1 2 ⋅ - 2 y ⋅ y ' R 2 - y 2 3 2 + - 2 y ' 2 +   - 2 y ⋅ y ' ' ⋅   1 R 2 - y 2

Estamos quase lá. Como queremos saber apenas a aceleração em t = 1 s , não precisamos ter o trabalho algébrico de abrir essa expressão toda, podemos só substituir os valores de:

y 1 = 180   m m

y ' 1 = v y 1 = 160   m m / s

y ' ' 1 = a y 1 =   - 40   m m / s 2

R 2 = 350 2

Massa! Substituindo esses dados todos em a x ( t ) para t = 1 s , vem que:

a x 1 = - 2 ⋅ 180 ⋅ 160 ⋅ - 1 2 ⋅ - 2 ⋅ 180 ⋅ 160 350 2 - 180 2 3 2 + - 2 ⋅ 160 2 - 2 ⋅ 180 ⋅ - 40 350 2 - 180 2

Fazendo todas essas continhas, finalmente chegamos que:

a x t =   - 61,34 +   - 122,60   =   - 183,94   m m / s 2

Excelente! Agora é só finalizarmos a questão, escrevendo a velocidade e aceleração resultante em termos das suas componentes:

v → = - 191,89 ⋅ x ^ + 160 ⋅ y ^   m m / s

a → = - 183,94 ⋅ x ^ - 40 ⋅ y ^   m m / s 2

Prontinho 😊

Passo 2

b) Nesse item também nos é pedido a velocidade e aceleração do ponto P em t = 1 s , mas agora em coordenadas normal e tangencial ( n - t ) . O importante de lembrarmos é que no movimento circular a velocidade é sempre tangencial (a componente normal da velocidade é nula). Daí, podemos escrevê-la como:

v → = v → ⋅ e ^ t

Onde e ^ t é o versor na direção tangencial da trajetória.

A dica aqui pessoal é usarmos os resultados já encontrados no item A. Por esse item, nós já conhecemos o vetor velocidade em t = 1 s , precisamos apenas reescrevê-lo. Pois sabemos que:

v → =   - 191,89 ⋅ x ^ + 160 ⋅ y ^

Logo, o módulo vale:

v → = - 191,89 2 + 160 2 = 249,84   m m / s

Portanto:

v → = 249,84 ⋅ e ^ t   m m / s

Show galera, já foi uma parte. Bora pra aceleração.

Lembra que em coordenadas n-t, a aceleração pode ser escrita como:

a → = d v d t ⋅ e ^ t + v ⋅ v ρ e ^ n

Onde ρ é o raio de curvatura.

Pra descobrir cada uma dessas componentes, podemos fazer os produtos escalares a → ⋅ e ^ t e a → ⋅ e → n .

O versor e → t pode ser encontrado pela direção da velocidade. Então:

e → t = - 191,89 249,84 ⋅ x ^ + 160 249,84 ⋅ y ^ =   - 0,77 ⋅ x ^ + 0,64 ⋅ y ^

Como, do item A, temos:

a → =   - 183,94 ⋅ x ^ - 40 ⋅ y ^

Fazendo o produto escalar, chegamos que:

d v d t = a → ⋅ e ^ t = - 183,94 ⋅ x ^ - 40 ⋅ y ^ ⋅ ( - 0,77 ⋅ x ^ + 0,64 ⋅ y ^ )

= 141,63 - 25,6 = 116,03   m m / s 2

Já o versor e → n pode ser encontrado através das coordenadas da posição x 1 ,   y 1 .

x 1 = 350 2 - y 1 2 = 300,17   m m

Daí é só usar um pouquinho de conhecimento de álgebra linear:

e → n = 0 - x 1 x → + 0 - y 1 y ^ )

∴ e ^ n = - 300,17 300,17 2 + 180 2 x → + - 180 300,17 2 + 180 2 y ^

⇒ e ^ n = - 0,86 x ^ - 0,51 y   ̂

Boa pessoal! Vamos calcular o outro produto escalar:

v 2 ρ = a → ⋅ e ^ n =   - 183,94 ⋅ x ^ - 40 ⋅ y ^ ⋅ - 0,86 x ^ - 0,51 y ^ =   - 158,2 - 20,4   =   178,59     m m / s 2

Excelente! Agora que já calculamos as duas componentes, é só reescrever:

a → = 116,03 ⋅ e ^ t + 178,59 ⋅ e ^ n   m m / s 2

Aee, já foi outra letra, falta só mais uma. Vamoo!!

Passo 3

c) Nesse último item precisamos calcular o raio de curvatura ( ρ ) da trajetória. Podemos olhar para a figura, que nos mostra que o raio é de 350   m m , ou podemos também analisar a componente normal da aceleração.

Isso porque:

a → n = v 2 ρ

⇒ 178,59 = 249,84 2 ρ ∴ ρ = 249,82 2 178,59 = 350   m m

Aeee, terminamos a questão. Vocês conseguiram entender direitinho? Essa foi boa para revisar as coordenadas n-t.

Resposta

a) v → = - 191,89 ⋅ x ^ + 160 ⋅ y ^   m m / s

a → = - 183,94 ⋅ x ^ - 40 ⋅ y ^   m m / s 2

b) v → = 249,84 ⋅ e ^ t   m m / s

a → = 116,03 ⋅ e ^ t + 178,59 ⋅ e ^ n   m m / s 2

c)

ρ =   350   m m

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