Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Aceleração

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Enunciado

Num dado instante, o pé A da escada tem aceleração a A = 4   p é s / s e velocidade v A = 6   p é s / s , ambas para esquerda. Determine a a ) aceleração do topo B e a b ) aceleração angular da escada, nesse instante.

Passo 1

Vamos analisar inicialmente a velocidade do ponto B , temos que:

v → B = v → A + ω → × r → B / A

Conforme o ponto A vai para a esquerda, o ponto B desce. Então, vamos ter que:

A velocidade v → A será:

v → A = - 6 i ^   p é s / s

E podemos escrever a velocidade do ponto B em termos de x e y :

v → B = - v B j ^  

A decomposição do vetor r → B / A nos eixos x e y fica:

r → B / A = 16 cos ⁡ 30 ° i ^ + 16 s e n   30 ° j ^

r → B / A = 13,856 i ^ + 8 j ^   p é s

Repare que a barra tende a girar em torno do ponto A e como este ponto se move para a esquerda, a barra tende a girar no sentido horário:

Então, pela convenção de sinais que adotamos, a velocidade angular desta barra é negativa:

ω → = - ω k ^

Passo 2

Vamos fazer o produto vetorial agora:

ω → × r → B / A = ( - ω k ^ ) × 13,856 i ^ + 8 j ^

Nossa matriz vai ficar:

i ^ j ^ k ^ 0 0 - ω 13,856 8 0 = i ^ 0 - ω 8 0 - j ^ 0 - ω 13,856 0 + k ^ 0 0 13,856 8

ω → × r → B / A = 8 ω i ^ - 13,856 ω j ^

Então, o que temos até agora é:

v → B = v → A + ω → × r → B / A

- v B j ^   = - 6   i ^ + 8 ω i ^ - 13,856 ω j ^

Vamos separar as nossas equações nas componentes x e y :

E m   x     →     0 = - 6   + 8 ω

E m   y     →       - v B   = - 13,856 ω

Opa, pela primeira equação conseguimos achar o valor da velocidade angular da barra:

0 = - 6   + 8 ω     →         ω = 0,75   r a d / s

Agora podemos achar o valor da velocidade no ponto B usando a segunda equação:

- v B   = - 13,856 ω       →           - v B = - 13,856 ( 0,75 )      

v B = 10,39   p é s / s

Como tudo deu positivo, significa que arbitramos o sentido certo tanto para ω (sentido horário) quanto para v B (apontando para o sentido negativo do eixo y ).

Passo 3

Agora vamos analisar as acelerações:

a → B = a → A + α × r → B / A - ω 2 r → B / A

Repare que a aceleração do ponto B será no mesmo sentido da velocidade, pois não está acontecendo uma desaceleração:

Temos que a aceleração do ponto A é:

a → A = - 4 i ^   p é s / s 2

E a aceleração do ponto B pode ser escrita assim:

a → B = - a B j ^  

Então, como fica a nossa equação:

a → B = a → A + α × r → B / A - ω 2 r → B / A

- a B j ^ = - 4 i ^ + α × ( 13,856 i ^ + 8 j ^ ) - ( 0,75 ) 2 ( 13,856 i ^ + 8 j ^ )

Vamos ter que:

- a B j ^ = - 4 i ^ + α × ( 13,856 i ^ + 8 j ^ ) - 0,563 ( 13,856 i ^ + 8 j ^ )

- a B j ^ = - 4 i ^ + α × ( 13,856 i ^ + 8 j ^ ) - ( 7,794 i ^ + 4,5 j ^ )

Repare que a aceleração angular da barra α aponta no sentido horário também, assim como a velocidade angular. Isso porque a barra não sofre desaceleração:

Então, podemos escrever a aceleração angular em função das suas componentes:

α → = - α j ^

Vamos fazer o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 - α 13,856 8 0 = i ^ 0 - α 8 0 - j ^ 0 - α 13,856 0 + k ^ 0 0 13,856 8

α × r ��� B / A = ( 8 α i ^ - 13,856 α j ^ )

Vamos substituir isso na nossa equação da aceleração:

- a B j ^ = - 4 i ^ + α × ( 13,856 i ^ + 8 j ^ ) - ( 7,794 i ^ + 4,5 j ^ )

- a B j ^ = - 4 i ^ + ( 8 α i ^ - 13,856 α j ^ ) - ( 7,794 i ^ + 4,5 j ^ )

Agora, vamos separar nossa equação nas componentes x e y :

E m   x       →         0 = - 4 + 8 α - 7,794

E m   y       →       - a B = - 13,856 α - 4,5

Da primeira equação conseguimos achar o valor da velocidade angular:

α = 1,47   r a d / s 2

E substituindo isso na segunda equação obtemos o valor da aceleração do ponto B :

a B = 24,93   p é s / s 2

O sinal positivo que achamos tanto para a aceleração angular quanto para a aceleração do ponto B indica que arbitramos o sentido correto para esses vetores.

Resposta

a )   a B = 24,93   p é s / s 2

b )   α = 1,47   r a d / s 2

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