Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Aceleração

Ver Teoria

Enunciado

02) Um disco de massa m , raio r e centro G , rola sem deslizar sobre um plano inclinado, sendo I o ponto de contato. O disco é tracionado por um cabo inextensível, de massa desprezível, ligado por meio de uma polia a um bloco de massa m . No instante inicial, o sistema está em repouso e h = 0 . Sabendo que a polia de centro C tem massa desprezível, pede-se, para o instante ilustrado na figura:

a) a energia cinética do sistema;

b) a velocidade v B e a aceleração a B do bloco em função de h ;

c) a tração T no cabo e as componentes normal e tangencial da força de contato no disco.

Passo 1

Ooii pessoal, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos uma situação bem clássica. Um disco, sob um plano inclinado, está preso a um fio tracionado por uma carga B .

a) Pra começar a brincadeira, devemos calcular a energia cinética do sistema (disco+bloco).

Aqui, o que pode gerar certa dúvida, é a influência do movimento de rotação do disco na energia cinética do sistema. Será que altera a energia ou podemos ignorar a rotação?

Então, sempre que tem rotação precisamos acrescentar uma parcela a mais na energia cinética:

E C r o t = J G Z ω 2 2

Assim, considerando também as parcelas de translação do disco e do bloco B , temos:

T = m v G 2 2 + J G Z ω 2 2 + m v B 2 2

Mas, como o fio é inextensível, podemos afirmar que:

v B = v G

Além disso, como o disco rola sem deslizar, o ponto de contato I é como um CIR para o disco. Assim, também podemos afirmar que:

v G = ω r

⇒ v B = ω r

Por último, como trata-se de um disco, sabemos também que:

J G Z = m r 2 2

Substituindo todas essas informações na expressão da energia cinética, temos:

T = m 2 ω r 2 + m r 2 2 ⋅ 2 ω 2 + m 2 ω r 2

∴ T = m ω 2 r 2 + m ω 2 r 2 4

Logo:

T = 5 m ω 2 r 2 4

Bouaaa! O primeiro item já foi 😊

Passo 2

b) Agora devemos calcular a velocidade e aceleração do ponto B em função de h .

Pô, pensa comigo, se precisamos que a resposta esteja em função de altura h , tentar resolver usando os teoremas que envolvem força não é uma ideia muito boa.

Bora partir pra energia!

Aplicando o teorema da energia cinética ao nosso sistema, do instante inicial até o instante mostrado, temos que:

w R = Δ T

Vamos pensar agora em quais forças estão realizando trabalho.

A força normal de contato entre o disco e o plano inclinado não realiza trabalho, ela é sempre perpendicular ao deslocamento.

A força de atrito também não realiza, pois o disco rola sem deslizar, assim a velocidade do ponto de contato é nula a cada instante. A tração é uma força interna, logo não realiza trabalho.

Portanto, as únicas forças que realizarão trabalho é a força peso no bloco e a sua componente perpendicular ao plano inclinado no disco.

⇒ w R = m g h - m g h s e n α

Como no instante inicial o sistema está em repouso, temos:

Δ T = 5 m ω 2 r 2 4

Igualando as duas expressões, temos:

5 m ω 2 r 2 4 =   m g h - m g h s e n α

Logo:

ω 2 = 4 g h 1 - s e n α 5 r 2

⇒ ω = 4 g h 1 - s e n α 5 r 2

Como vimos no item anterior, vale que:

v B = ω r

∴ v B = 4 g h 1 - s e n α 5  

Como o bloco B está descendo, ou seja, no sentido - j → , temos:

v → B = - 4 g h 1 - s e n α 5   j →  

Bouaaa! Pra encontrar a aceleração, basta derivarmos v B :

a B = d v B d t

d v B d t = d d t 4 g h 1 - s e n α 5

Tirando tudo que é constante da jogada, ficamos com:

a B = 4 g 1 - s e n α 5   ⋅ d h 1 2 d t

a B =   4 g 1 - s e n α 5   ⋅ 1 2 h ⋅ h ˙

Mas,

h ˙ = v B

Substituindo, temos:

a B =   4 g 1 - s e n α 5   ⋅ 1 2 h ⋅ 4 g h 1 - s e n α 5

Daí, temos:

a B = 2 g ( 1 - s e n α ) 5

Como o bloco B movimenta-se na direção - j → , temos:

a → B =   - 2 g 1 - s e n α 5 j →

Excelentee!! Entenderam bem?!

Vamo simbora!!

Passo 3

c) Aqui devemos determinar a tração no fio além das componentes de da reação de contato entre o disco e o plano inclinado.

Como já sabemos a aceleração do bloco e do disco, podemos agora partir pra uma análise de forças.

Para o bloco B atuam apenas a tração e a força peso, montando a equação de forças temos:

T - m g = m a B

Substituindo o valor de a B , temos:

T - m g = m ⋅ - 2 g 1 - s e n α 5

Logo:

T = m g 3 - 2 s e n α 5

Já no disco atuam o atrito e a normal no ponto de contato I , além da tração e da força peso. Logo:

Montando as equações de força na direção tangencial e perpendicular ao plano inclinado, temos:

T - H - m g s e n α = m a G N - m g c o s α = 0

Daí, logo de cara temos:

N = m g c o s α

Massa!

Pra descobrir H basta substituir o valor de T e lembrar que a G = a B . Assim:

H = m g 3 - 2 s e n α 5 - m g s e n α - m ⋅ 2 g 1 - s e n α 5

⇒ H =   m g 5 ( 1 - s e n α )

Aeeee, terminamos! Conseguiram entender bem as ideias da questão?

É isso galera, espero vocês na próxima. Tamo junto! 😉

Resposta

a) T = 5 m ω 2 r 2 4

b) v → B = - 4 g h 1 - s e n α 5   j →

a → B =   - 2 g 1 - s e n α 5 j →

c) T = m g 3 - 2 s e n α 5

N = m g c o s α

H =   m g 5 ( 1 - s e n α )

Exercícios de Livros Relacionados

Se a extremidade A da barra restrita possui uma velocidade constante para eixo v A de 2 m/s quando a barra passa pela posição para qual θ = 30 ° , determine a aceleração do centro de massa G no meio d
15.222. A placa circular mostrada na figura gira em torno de seu diâmetro vertical a uma taxa constante 1 10 rad /s. Sabendo que na posição mostrada o disco se encontra no plano XY e o ponto D da alça
O mecanismo de dois membros serve para amplificar o movimento angular. O membro AB tem um pino em B que está confinado a se deslocar dentro da ranhura do membro CD. Se, no instante mostrado, AB (entra
A argola é lançada na superfície áspera de maneira que ela tem uma velocidade angular ω = 4r a d / s e uma aceleração angular α = 5r a d / s 2 . Além disso, seu centro tem uma velocidade v O = 5m / s
O cilindro hidráulico D se estende com a velocidade v B = 1,2m / s e uma aceleração a B = 0,45m / s 2 . Determine a aceleração de A no instante mostrado.