Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Aceleração

Ver Teoria

Enunciado

01) A plataforma circular de raio R gira em torno do eixo vertical fixo O z com velocidade angular Ω (constante) e desliza na direção do mesmo eixo com velocidade v , conforme mostrado na figura. Uma barra C P de comprimento R é articulada na plataforma em C , e gira com velocidade angular 2 Ω (constante) em relação à plataforma. Para a configuração instantânea indicada, e admitindo a plataforma como referencial móvel, calcule e escreve suas respostas nos campos abaixo utilizando o sistema de coordenadas O x y z solidário à plataforma.

a) As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P da barra.

b) As acelerações relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P da barra.

c) O vetor rotação absoluta da barra.

d) O vetor aceleração rotacional absoluta da barra.

Passo 1

Faaala gente bonita do Responde Aí, como vocês estão?

Aqui temos uma plataforma girando e deslizando em torno do eixo O z , e uma barra presa na plataforma, girando em torno do eixo O x .

a) Nesse item devemos determinar as velocidades relativa em relação a plataforma, de arrastamento e absoluta do ponto P , que se localiza na extremidade da barra.

A gente sabe que nas equações de mecânica, pra escrever a velocidade de um ponto costumamos pegar outro como referência, certo? Qual o ponto que a gente deve usar para calcular a velocidade de P em relação a plataforma?

É justamente o ponto C . Ele é muito bom porque pertence tanto à barra CP como à plataforma, sacaram?! Então bora lá:

v → P , r e l = v → C , r e l   + ω → C P × ( P - C )

Nota que, como C pertence a plataforma e está fixo nela, sua velocidade relativa é nula. Assim, vem:

v → P , r e l = 0 → + 2 Ω i → × ( - R k → )

∴ v → P , r e l = 2 Ω R j →

Top! Vamos agora para a de arrastamento, que basicamente é a componente do movimento de P que é feita pela plataforma. Por isso, como a plataforma gira em relação a origem, é uma boa fazermos tudo em relação a ela:

v → P ,   a r r = v → O , a r r + Ω k → × ( P - O )

Como a plataforma está deslizando no eixo 0 z com velocidade v , em relação a O temos:

v → P ,   a r r = v k → + Ω k → × R i → - R k →

v → P ,   a r r = v k → + Ω R j →

Perfeito!

Para matar esse item, basta descobrir a velocidade absoluta, que é simplesmente a soma das velocidades:

v → a b s = v → a r r + v → r e l

v → a b s = v k → + Ω R j → + 2 Ω R j →  

v → a b s = v k →   + 3 Ω R j →

Essa já foi!! 😊

Passo 2

b) Aqui precisamos determinar praticamente as mesmas coisas do item anterior, mas no lugar de ser a velocidade, é a aceleração.

A ideia é usar equação da aceleração no movimento plano geral, lembram:

a → X = a → Y + α → × X - Y + ω x y × ( ω x y × X - Y )

Essa é a forma geral, mas vamos começar com a a → P ,   r e l . Novamente, escolhendo o ponto C , temos:

a → P = a → C , r e l + ω → ˙ C ,   r e l × P - C + ω → r e l × ( ω → r e l × P - C )

Como as acelerações a → C , r e l = 0 e ω → ˙ C ,   r e l = 0 , pois a velocidade de rotação da barra em torno do eixo O x é constante, temos:

a → P , r e l = 0 → + 0 → + 2 Ω i → × 2 Ω i → × - R k →

a → P , r e l = 4 Ω 2 R k →

Show! Indo agora para o cálculo da aceleração de arrastamento, vamos novamente usar o ponto O como referência:

a → P , a r r = a → O , a r r +   ω → ˙ a r r × P - O +   ω → a r r × ( ω → a r r × P - O )

Como a plataforma desliza e gira com velocidade constante, podemos reescrever a equação:

a → P , a r r = 0 → + 0 → + Ω k → × ( Ω k → × R i → - R k → )

Logo:

a → P , a r r =   - Ω 2 R i →

Muito bom!

Pra finalizar precisamos calcular a aceleração absoluta, mas aqui temos que ter um certo cuidado. Nesse tipo de movimento, em que o ponto P rotaciona em torno de um ponto que já está rotacionando e transladando (o ponto C ), surge também a aceleração de Coriolis. Assim:

a → c o r = 2 ω → a r r × v → P ,   r e l

a → c o r = 2 Ω k → × 2 Ω R j →

a → c o r =   - 4 Ω 2 R i →  

Prontoo! Agora sim podemos calcular a aceleração absoluta. Ela será dada por:

a → P = a → P ,   r e l + a → P , a r r + a → c o r

a → P =   4 Ω 2 R k → - Ω 2 R i → - 4 Ω 2 R i →

Portanto:

a → P =   - 5 Ω 2 R i → + 4 Ω 2 R k →

Prontinho 😊

Passo 3

c) Aqui precisamos calcular o vetor rotação absoluta da barra C P .

Mas, ele é simplesmente como a velocidade angular resultante dos dois tipos de movimento realizado pela barra: o de arrastamento e o relativo ao eixo O x . Daí:

ω → =   ω → a r r + ω → r e l

ω → = 2 Ω i → + Ω k →

Massa! Esse foi rápido.

Passo 4

d) Chegamos no último item, ufa!!!

Pra encerrar, devemos calcular o vetor aceleração rotacional da barra. É basicamente uma aceleração angular resultante, mas com um termo a mais. É dada pela expressão:

ω → ˙ =   ω → ˙ a r r +   ω → ˙ r e l +   ω → a r r × ω → r e l

Como já vimos nos itens anteriores:

ω → ˙ a r r = ω → ˙ r e l = 0  

Assim:

ω → ˙ = Ω k → × 2 Ω i →

Logo, pra finalizar:

ω → ˙ = 2 Ω 2 j →

Aeee, matamos mais uma questão.Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, até a próxima galera 😉

Resposta

a) Resolução no texto.

b) Resolução no texto.

c) ω → = 2 Ω i → + Ω k →

d) ω → ˙ = 2 Ω 2 j →

Exercícios de Livros Relacionados

Se a extremidade A da barra restrita possui uma velocidade constante para eixo v A de 2 m/s quando a barra passa pela posição para qual θ = 30 ° , determine a aceleração do centro de massa G no meio d
15.222. A placa circular mostrada na figura gira em torno de seu diâmetro vertical a uma taxa constante 1 10 rad /s. Sabendo que na posição mostrada o disco se encontra no plano XY e o ponto D da alça
O mecanismo de dois membros serve para amplificar o movimento angular. O membro AB tem um pino em B que está confinado a se deslocar dentro da ranhura do membro CD. Se, no instante mostrado, AB (entra
A argola é lançada na superfície áspera de maneira que ela tem uma velocidade angular ω = 4r a d / s e uma aceleração angular α = 5r a d / s 2 . Além disso, seu centro tem uma velocidade v O = 5m / s
O cilindro hidráulico D se estende com a velocidade v B = 1,2m / s e uma aceleração a B = 0,45m / s 2 . Determine a aceleração de A no instante mostrado.