Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Aceleração

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Enunciado

Determine a aceleração angular da barra de ligação A B , considerando que a barra C D tem a velocidade e a desaceleração angulares indicadas na figura.

Passo 1

Vamos começar resolvendo esta questão pela barra C D , pois temos alguma informação sobre seu movimento. Repare que o ponto C realiza um movimento em torno do ponto D que está fixo, então podemos dizer que:

a → C = α → C D × r → C / D - ω C D 2 r → C / D

Sabemos que a barra C D possui uma desaceleração, então:

α → C D = - 4 k ^   r a d / s 2

Já a sua velocidade angular é positiva, pois está girando no sentido horário:

ω → C D = 2 k ^   r a d / s

E o vetor posição r → C / D ?

Então:

r → C / D = 0,9 j ^   m

Agora que identificamos cada termo da nossa equação, é só substituirmos tudo:

a → C = α → C D × r → C / D - ω C D 2 r → C / D

a → C = - 4 k ^ × 0,9 j ^ - ( 2 2 ) ( 0,9 j ^ )

Vamos resolver este produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 4 0 0,9 0 = i ^ 0 - 4 0,9 0 - j ^ 0 - 4 0 0 + k ^ 0 0 0 0,9

- 4 k ^ × 0,9 j ^ = 3,6 i ^

Então:

a → C = - 4 k ^ × 0,9 j ^ - 2 2 0,9 j ^     →         a → C = 3,6 i ^ -   2 2 0,9 j ^

a → C = ( 3,6 i ^ - 3,6 j ^ )   r a d / s 2

Passo 2

Agora vamos achar a velocidade do ponto C :

v → C = v → D + ω → C D × r → C / D

Repare que o ponto D está fixo, então sua velocidade é nula:

v → D = 0

Portanto:

v → C = v → D + ω → C D × r → C / D     →       v → C = 2 k ^ × 0,9 j ^

Resolvendo este produto vetorial, vamos ter que:

v → C = - 1,8 i ^   m / s

Repare que o produto vetorial de uma componente em k ^ e outra em j ^ sempre resulta em uma componente em i ^ .

Passo 3

Vamos partir para a barra A B . Repare que o ponto B gira em torno do ponto A que está fixo, então:

v → B = v → A + ω → A B × r → B / A

Como o ponto A é fixo, sua velocidade é nula:

v → A = 0

A velocidade angular da barra A B nós não sabemos, mas vamos arbitrar que ela esteja no sentido positivo:

ω → A B = ω A B k ^

E o vetor posição r → B / A ?

r → B / A = 0,3 j ^   m

Como já definimos o que é cada termo da nossa equação, vamos substituir as coisas:

v → B = v → A + ω → A B × r → B / A       →           v → B = ω A B k ^ × 0,3 j ^

Resolvendo este produto vetorial, vamos ter que:

v → B = 0,3 ω A B i ^

Vamos guardar esta informação e tentar outra maneira de achar a velocidade do ponto B .

Passo 4

Agora vamos relacionar os pontos B e C para acharmos a velocidade do ponto B , já que temos informações sobre o ponto C :

v → B = v → C + ω → B C × r → B / C

Vamos identificar o que é cada termo desta equação.

A velocidade do ponto C nós já calculamos:

v → C = - 1,8 i ^   m / s

A velocidade angular da barra B C nós não sabemos, mas vamos arbitrar como positiva:

ω → B C = ω B C k ^

E o vetor posição relativa r → B / C será:

r → B / C = - 0,6 i ^ - 0,6 j ^   m

Pronto! Agora é só substituir:

v → B = v → C + ω → B C × r → B C       →          

v → B = - 1,8 i ^ + ω B C k ^ × - 0,6 i ^ - 0,6 j ^

Resolvendo este produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 ω B C - 0,6 - 0,6 0 = i ^ 0 ω B C - 0,6 0 - j ^ 0 ω B C - 0,6 0 + k ^ 0 0 - 0,6 - 0,6 =

= + 0,6 ω B C i ^ - 0,6 ω B C j ^

Então, vamos ter que:

v → B = - 1,8 i ^ + ω B C k ^ × - 0,6 i ^ - 0,6 j ^       →    

v → B = - 1,8 i ^ + 0,6 ω B C i ^ - 0,6 ω B C j ^

Beleza?

Lembra que eu falei para guardarmos a informação que tínhamos sobre a velocidade do ponto B ? Vamos resgatá-la agora:

v → B = 0,3 ω A B i ^

E substituir ela na nossa equação:

v → B = - 1,8 i ^ + 0,6 ω B C i ^ - 0,6 ω B C j ^       →

0,3 ω A B i ^ = - 1,8 i ^ + 0,6 ω B C i ^ - 0,6 ω B C j ^

Agora vamos separar as equações de acordo com as componentes i ^ e j ^ :

E m   x       →           0,3 ω A B = - 1,8 + 0,6 ω B C

E m   y       →           0 = - 0,6 ω B C

Da equação em y tiramos que a velocidade angular da barra B C é zero:

ω B C = 0

E da primeira equação, temos que:

0,3 ω A B = - 1,8 + 0,6 ω B C       →           0,3 ω A B = - 1,8

ω A B = 6   r a d / s

Como a velocidade angular da barra A B deu positiva, significa que arbitramos o sentido correto para ela:

ω → A B = 6 k ^   r a d / s

Passo 5

Agora vamos relacionar o ponto B e C para achar a aceleração. Como esses dois pontos se movem, temos que:

a → B = a → C + α → B C × r → B / C - ω B C 2 r → B / C

O que não sabemos dessa equação é a aceleração do ponto B ( a → B ) e a aceleração angular da barra B C . Vamos arbitrar o sentido positivo para a aceleração angular da barra A B :

α → B C = α B C k ^

Pronto! Vamos substituir tudo o que temos:

a → B = a → C + α → B C × r → B / C - ω B C 2 r → B / C       →

a → B = 3,6 i ^ - 3,6 j ^ + α B C k ^ × - 0,6 i ^ - 0,6 j ^

Não esqueça que a velocidade angular da barra B C é zero!

Vamos resolver o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 α B C - 0,6 - 0,6 0 = i ^ 0 α B C - 0,6 0 - j ^ 0 α B C - 0,6 0 + k ^ 0 0 - 0,6 - 0,6 =

= + 0,6 α B C i ^ - 0,6 α B C j ^

Substituindo na nossa equação, temos que:

a → B = 3,6 i ^ - 3,6 j ^ + α B C k ^ × - 0,6 i ^ - 0,6 j ^ →

a → B = 3,6 i ^ - 3,6 j ^ + 0,6 α B C i ^ - 0,6 α B C j ^

Vamos guardar essa informação e arranjar outro jeito de achar a aceleração do ponto B !

Passo 6

Outra forma de achar a aceleração do ponto B é usando a barra A B . Como o ponto B gira em torno de um ponto fixo (ponto A ) vamos ter que:

a → B = α → A B × r → B / A - ω A B 2 r → B / A

Nós já determinamos antes que:

r → B / A = 0,3 j ^   m

E:

ω → A B = 6 k ^   r a d / s

Falta a aceleração angular da barra A B ( α → A B ) e é exatamente isto que a questão quer saber!

Vamos arbitrar o sentido positivo para ela:

α → A B = α A B k ^

E agora podemos substituir tudo:

a → B = α → A B × r → B / A - ω A B 2 r → B / A       →

a → B = α A B k ^ × 0,3 j ^ - 6 2 ( 0,3 j ^ )

Como já estamos craques em produto vetorial, vamos ter que:

α A B k ^ × 0,3 j ^ = - 0,3 α A B i ^

Então, a nossa equação fica:

a → B = α A B k ^ × 0,3 j ^ - 6 2 0,3 j ^     →

a → B = - 0,3 α A B i ^ - 6 2 ( 0,3 j ^ )

a → B = - 0,3 α A B i ^ - 10,8 j ^

Lembra o que sabemos sobre aceleração do ponto B ?

a → B = 3,6 i ^ - 3,6 j ^ + 0,6 α B C i ^ - 0,6 α B C j ^

Vamos substituir isso na nossa equação lá de cima:

a → B = - 0,3 α A B i ^ - 10,8 j ^     →        

3,6 i ^ - 3,6 j ^ + 0,6 α B C i ^ - 0,6 α B C j ^ = - 0,3 α A B i ^ - 10,8 j ^

Agora é só separarmos as equações de acordo com as componentes i ^ e j ^ :

E m   x       →           3,6 + 0,6 α B C = - 0,3 α A B

E m   y       →             - 3,6 - 0,6 α B C = - 10,8

Resolvendo a segunda equação, temos que:

- 3,6 - 0,6 α B C = - 10,8       →           - 0,6 α B C = - 7,2

α B C = 12   r a d / s 2

Substituindo isso na primeira equação temos que:

3,6 + 0,6 α B C = - 0,3 α A B       →           3,6 + 0,6 ( 12 ) = - 0,3 α A B

α A B = - 36   r a d / s 2

Como achamos um valor negativo para a aceleração angular da barra A B , significa que arbitramos o sentido contrário para ela. Então, ela está girando no sentido horário:

α → A B = - 36 k ^   r a d / s 2

Resposta

α → A B = - 36 k ^   r a d / s 2

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