Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Aceleração

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Enunciado

03) Um disco homogêneo move-se sobre uma pista plana horizontal sob a ação de uma força F → = F i → passante pelo seu centro de massa. O coeficiente de atrito cinético entre as superfícies do disco e da pista é μ . Supondo-se que o movimento do disco seja de rolamento sem deslizamento, pede-se:

a) Desenhar o diagrama de corpo livre do disco;

b) determinar a aceleração angular do disco e a aceleração do seu centro de massa;

c) determinar as componentes horizontal e vertical da força de contato entre o disco e a pista;

d) estabelecer a condição que deve ser satisfeita para que o movimento hipoteticamente realizado pelo disco – rolamento sem deslizamento – seja possível.

Passo 1

Eaí gente! Tudo certinho com vocês?

a) Pra começar mais uma questão de mecânica precisamos desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) do disco. O primeiro passo nesses itens de fazer o DCL é sempre identificar as forças que estão agindo no corpo.

No caso do nosso disco, temos além da força F → , há a força peso atuando em G e as forças Normal e de atrito agindo no contato do disco com o solo. Daí, temos:

Passo 2

b) Beleza, aqui devemos determinar a aceleração angular e a do centro de massa do disco. Pensa comigo, se temos várias forças atuando em um corpo e queremos a aceleração, temos que invocar nossos teoremas que envolvem força e momento: O Teorema da Resultante e o Teorema da quantidade de movimento angular (TQMA).

Pelo TQMA:

J C - ω ˙ k → =   - F r k → ⇒   - 3 2 m r 2 ω ˙ =   - F r

Daí:

ω ˙ = 2 F 3 m r

Massa! Agora podemos usar as equações cinemáticas pra relacionar a aceleração angular e a linear.

Como o disco rola sem escorregar, vale que:

v → G = v → C - ω k → × G - C = 0 → - ω k → × r j → =   ω r i →

Pensando no centro de massa, a trajetória dele é uma linha reta, ou seja, ele faz um movimento retilíneo paralelo à superfície. Assim, podemos afirmar que:

a → G = d v → G d t =   ω ˙ r i → = 2 F 3 m i →

Passo 3

c) Nesse item só precisamos determinar as forças de atrito ( H ) e normal ( N ) . Vamos então usar o nosso outro teorema.

Pelo teorema da resultante, podemos escrever:

F - H = m a G

N - m g = 0

Daí, vem direto que:

N = m g

H = F - m a G = F - m ⋅ 2 F 3 m = F 3

Boa! Agora só falta o último item!

Passo 4

d) Precisamos calcular a condição matemática para que esse movimento, rolamento sem deslizamento, seja realmente possível.

O ponto é que de acordou com o que a gente propôs na resolução da questão, tem uma força que precisa obedecer a uma certa condição para que possa existir. É justamente a força de atrito, lembra que:

F a t ≤ μ ⋅ N = μ m g

Então, substituindo a expressão que encontramos pra força de atrito, vamos ter:

F 3 ≤ μ m g ⇒ F ≤ 3 μ m g

Essa é a nossa condição. Se uma força F maior do que esse valor for aplicada no nosso disco, não teremos um movimento com rolamento sem deslizamento. Sacaram a ideia?

É isso galera! Matamos mais uma questãozinha de mec. Espero que vocês tenham gostado, até a próxima 😉

Resposta

a) Resolução no texto.

b) ω ˙ = 2 F 3 m r

a → G = 2 F 3 m i →

c)

H = F 3

N = m g

d)

F ≤ 3 μ m g

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