Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Aceleração

Ver Teoria

Enunciado

03) No mecanismo a seguir, no instante mostrado, a barra AB possui velocidade angular de 1,3   r a d / s e aceleração angular de 7   r a d / s 2 , ambas no sentido anti-horário. Nesse instante, a barra BC gira com a mesma velocidade angular da barra AB enquanto a barra CE gira com velocidade angular 2,31   r a d / s no sentido horário.

Pede-se:

a) Calcule a aceleração angular da barra BC;

b) Calcule a aceleração do ponto E.

Passo 1

Faaala galerinha, tudo bom?

a) Nesse item é pedido pra gente calcular a aceleração angular da barra BC. Como sabemos pelo enunciado, BC está girando no sentido anti-horário com uma aceleração angular α B C .

Precisamos pensar em alguma equação da mecânica que envolva α B C .

Uma boa ideia é usarmos a expressão da aceleração em um movimento plano geral para o ponto B, pois sabemos que:

a → B = a → C + a → B / C

a → B = a → C + α B C k ^ × r → B / C -   ω B C 2 r → B / C (1)

Beleza, pelos dados da questão, na equação acima ainda não conhecemos os valores de a → B ,   a → C ,   α B C e r → B C . Então, vamos por partes determinando algumas dessas variáveis até sermos capazes de resolver essa equação encontrando α B C .

A aceleração de B pode ser vista olhando para a barra AB, lembrando que A é um ponto fixo ( a → A = 0 ) , daí:

a → B = a → A + α A B k ^ × r → B / A - ω A B 2 r → B / A

∴ a → B = 7 k ^ × 0,42 j ^ - 1,3 2 0,42 j ^ =   - 2,94 i ^ - 0,71 j ^             ( 2 )

Massa! Pela figura, considerando a origem do plano cartesiano em A, temos que:

r → B / C =   - 0,71 i ^ + 0,42 j →                   ( 3 )

Já a aceleração de C, podemos usar também a equação do movimento plano geral, mas agora em relação a D (que também é um ponto fixo, logo a → D = 0 ).

a → C = a → D + α C E k ^ × r → C / D -   ω C E 2 r → C / D

Também pela figura, temos que:

r → C / D =   - 0,4 i ^

Substituindo:

a → C =   α C E k ^ × - 0,4 i ^ -   2,31 2 - 0,4 i ^ =   - 0,4 α C E j ^ + 2,13 i ^                   ( 4 )

Pronto, substituindo (2), (3) e (4) em (1), vamos ficar com:

- 2,94 i ^ - 0,71 j ^ =   - 0,4 α C E j ^ + 2,13 i ^ +   α B C k ^ × - 0,71 i ^ + 0,42 j → - 1,3 2 ( - 0,71 i ^ + 0,42 j → )  

Top!! Mesmo que ainda tenhamos duas variáveis, não tem problema. Equações vetoriais como essas sempre nos dão um sisteminha com uma equação para cada eixo cartesiano ( i ^ ,   j ^ ,   k ^ ) .

Então vamos resolver o produto vetorial que tá aparecendo aí pra depois escrever a equação vetorial bonitinha.

α B C k ^ × - 0,71 i ^ + 0,42 j → = α B C k ^ × - 0,71 i ^ +   α B C k ^ × 0,42 j ^

⇒   α B C k ^ × - 0,71 i ^ + 0,42 j → =   - 0,71 α B C j ^ - 0,42 α B C i ^

Show, voltando na nossa equação principal teremos:

- 2,94 i ^ - 0,71 j ^ =   - 0,4 α C E j ^ + 2,13 i ^ - 0,71 α B C j ^ - 0,42 α B C i ^ + 1,12 i ^ - 0,71 j ^

Só organizando um pouco, ficamos com:

- 2,94 i ^ - 0,71 j ^ = 2,13 - 0,42 α B C + 1,12 i ^ + ( - 0,4 α C E - 0,71 α B C - 0,71 ) j ^

Separando em um sisteminha de duas equações, temos:

- 2,94 =   2,13 - 0,42 α B C + 1,12   - 0,71 = - 0,4 α C E - 0,71 α B C - 0,71  

Como nesse item só queremos descobrir α B C , bora resolver apenas a primeira equação:

- 2,94 =   2,13 - 0,42 α B C + 1,12

∴ 0,42 α B C = 2,13 + 1,12 + 2,94 = 6,19

⇒   α B C = 6,19 0,42 = 14,7 4   r a d / s 2 (sentido anti-horário)

Ufaaa! Deu um trabalhinho, mas achamos. Bora pra próxima!

Passo 2

b) Aqui devemos encontrar a aceleração do ponto E.

Beleza! A forma mais fácil de escrever a aceleração do ponto E é usar D como referência, pois ele é um ponto fixo. Daí:

a → E = a → D + a → E / D

a → E =   α C E k → × r → E / D - ω C E 2 r → E / D

Precisamos determinar alguns termos dessa equação. Começando pela aceleração angular da barra CE, podemos usar o sisteminha final do item A (mais precisamente a segunda equação).

- 0,71 = - 0,4 α C E - 0,71 ( 14,74 ) - 0,71

0,4 α C E =   - 0,71 ⋅ 14,74 =   - 10,47

∴ α C E = - 26,16   r a d / s 2

Massa! Pela figura também temos que:

r → E / D =   - 0,71 i ^

Show! Voltando na nossa equação principal, temos:

a → E = - 26,16 k ^ × - 0,71 i ^ - 2,31 2 - 0,71 i ^

a → E = 18,57 j ^ + 3,79 i →   m / s

Uhuuul! Conseguimos! É isso aí pessoal, a ideia principal dessa questão é saber utilizar a expressão da aceleração em um movimento plano geral. Espero que vocês tenham entendido bem direitinho.Até a próxima! 😉

Resposta

a) α B C = 14,74   r a d / s 2

b) a → E = 18,57 j ^ + 3,79 i →   m / s

Exercícios de Livros Relacionados

Se a extremidade A da barra restrita possui uma velocidade constante para eixo v A de 2 m/s quando a barra passa pela posição para qual θ = 30 ° , determine a aceleração do centro de massa G no meio d
15.222. A placa circular mostrada na figura gira em torno de seu diâmetro vertical a uma taxa constante 1 10 rad /s. Sabendo que na posição mostrada o disco se encontra no plano XY e o ponto D da alça
O mecanismo de dois membros serve para amplificar o movimento angular. O membro AB tem um pino em B que está confinado a se deslocar dentro da ranhura do membro CD. Se, no instante mostrado, AB (entra
A argola é lançada na superfície áspera de maneira que ela tem uma velocidade angular ω = 4r a d / s e uma aceleração angular α = 5r a d / s 2 . Além disso, seu centro tem uma velocidade v O = 5m / s
O cilindro hidráulico D se estende com a velocidade v B = 1,2m / s e uma aceleração a B = 0,45m / s 2 . Determine a aceleração de A no instante mostrado.