Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

Considere dois vetores não nulos de R n , representados pelas matrizes-coluna u e v, e seja A = u v T .

I – D i m I m A = 1

II – D i m N A = n

(a) I é falsa e II é falsa.

(b) I é falsa e II é verdadeira.

(c) I é verdadeira e II é falsa.

(d) I é verdadeira e II é verdadeira.

Passo 1

Vamos começar escrevendo nossos vetores u e v do R n :

u = u 1 u 2 ⋮ u n

v = v 1 v 2 ⋮ v n

Fazendo o produto:

A = u v T = u 1 u 2 ⋮ u n v 1 v 2 ⋯ v n

A = u 1 v 1 u 1 v 2 ⋯ u 1 v n u 2 v 1 u 2 v 2 ⋯ u 2 v n ⋮ u n v 1 ⋮ u n v 2 ⋯ ⋮ ⋯ u n v n

A afirmativa I fala sobre a dimensão da imagem de A, então vamos calcular isso.

Lembra que a imagem de A é o espaço gerado pelas colunas??

Pra achar a dimensão da imagem, vamos começar escalonando a matriz A.

Vamos fazer:

L n ← L n + ( - u n u 1 ) L 1

Fazendo isso, note que a linha n vai zerar!

O mesmo vai acontecer para as linhas antes dela no processo do escalonamento.

Isso significa que no final, só vamos ter uma linha não nula. Logo, a dimensão da imagem vai ser igual a 1 e a afirmação I é verdadeira.

Passo 2

Vamos lembrar do Teorema Núcleo-Imagem para matrizes.

Se temos uma matriz A m × n , então:

n = D i m N A + D i m I m A

Vimos no passo anterior que:

D i m I m A = 1

Logo:

D i m N A = n - 1

E a afirmação II é falsa.

Resposta

(c) I é verdadeira e II é falsa.

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