Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Ciclos

Física 2 – PUC RJ – 2019.1 – P3 – Questão 3

Um mol de um gás ideal diatômico é submetido ao processo termodinâmica descrito a seguir:

I – O gás, inicialmente à uma pressão 4 p 0 ocupando um volume V 0 , passa por um processo adiabático até que sua pressão seja reduzida à metade.

II – Em seguida, é expandido até um volume 2 V 0 , mantendo a pressão constante.

III – O gás é então comprimido isotermicamente até seu estado inicial.

Dados: p 0 = 1,01 ⋅ 10 5   P a ; V 0 = 0,010   m 3 .

Determine:

a) O volume do gás ao final do processo I.

b) A variação da energia interna do gás a partir do início do processo I até o final do processo II.

c) O trabalho total para o ciclo.

d) O coeficiente de desempenho para este ciclo.

Passo 1

Fala galerinha, nesse problema vamos brincar um pouco com ciclos termodinâmicos!

Para problemas desse tipo, é essencial fazer um diagrama representando todos os processos:

Observe que I é o processo A → B , II é B → C e III é C → A .

No item (a) ele quer saber o volume do gás ao final do processo I, isto é, o volume no ponto B , representado por V ' . Como o processo A → B é adiabático, vale a relação

P A V A γ = P B V B γ → V B V A γ = P A P B = 2

Assim,

V B V A = 2 1 γ → V B = V A 2 1 / γ

Usando V A = V 0 e V B = V ' , temos que

V ' = V 0   2 1 γ

Para um gás diatômico, temos que γ = 1,4 , de modo que

V ' = V 0 ⋅ 2 1 / 1,4

Como V 0 = 0,010   m 3 , segue que

V ' = 0,010 ⋅ 2 1 1,4   m 3 → V ' = 0,0164   m 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No item (b) nós queremos a variação de energia interna entre o ponto A e o ponto C , passando pelo ponto B :

Δ U A → C = Δ U A → B + Δ U B → C

Como a energia interna é uma função de estado, a soma das variações de todos os processos no ciclo deve ser zero:

Δ U A → B + Δ U B → C + Δ U C → A = 0

Como o terceiro processo ( C → A ) é isotérmico, temos que Δ U C → A = 0 . Assim,

Δ U A → B + Δ U B → C = 0

Logo, a variação da energia interna entre o início do processo I e final do processo II é nula!

Passo 3

No item (c) ele pede para calcularmos o trabalho total no ciclo. Para isso, vamos calcular o calor e o trabalho em cada etapa.

Começando pela etapa I. Como é um processo adiabático, temos Q A → B = 0 . Portanto, usando a segunda lei da termodinâmica:

Δ U A → B = Q A → B - W A → B → W A → B = - Δ U A → B

Para um gás diatômico:

U = 5 2 p V

Assim,

Δ U A → B = 5 2 p B V B - p A V A

Como p B = p A / 2 :

Δ U A → B = 5 2 p A V B 2 - V A

Lembrando que p A = 4 p 0 :

Δ U A → B = 10 p 0 V ' 2 - V 0

Daí é só substituir:

Δ U A → B = 10 ⋅ 1,01 ⋅ 10 5   P a   0,0164 2 - 0,010   m 3 = - 1818   J

Assim,

W A → B = 1818   J

Passo 4

Já no processo II, temos que a pressão é constante, de modo que

W B → C = p B V C - V B = 2 p 0 2 V 0 - V '

W B → C = 2 ⋅ 1,01 ⋅ 10 5   P a   0,020 - 0,0164   m 3

W B → C = 727   J

Já para a variação da energia interna:

Δ U B → C = 5 2 p C V C - p B V B = 5 2 ⋅ 2 p 0 2 V 0 - V ' = 5 2 W B → C = 5 2 ⋅ 727   J

Δ U B → C = 1817   J

Logo,

Q B → C = Δ U B → C + W B → C = 727   J + 1817   J = 2544   J

Passo 5

Para fechar, vamos ao processo III. Como ele é isotérmico, temos Δ U C → A = 0 , de modo que

Q C → A = W C → A

Para calcular o trabalho, usamos

d W = p   d V = n R T d V V → W = n R T ∫ d V V

Assim,

Q C → A = W C → A = n R T ln ⁡ V A V C = n R T ln ⁡ 1 2 = - n R T ln ⁡ 2

Mas note também que

p A V A = n R T → Q C → A = W C → A = - p A V A ln ⁡ 2 = - 4 p 0 V 0 ln ⁡ 2

Logo,

Q C → A = W C → A = - 4 ⋅ 1,01 ⋅ 10 5   P a ⋅ 0,010   m 3 ⋅ ln ⁡ 2 = - 2800   J

Com isso, podemos calcular o trabalho total no ciclo somando todos os trabalhos:

W = W A → B + W B → C + W C → A = 1818   J + 727   J - 2800   J

W = - 255   J

Passo 6

No item (d) ele pergunta sobre o coeficiente de desempenho do ciclo. Esse coeficiente é a razão do calor da fonte fria pelo trabalho total:

K = Q f W

Nesse ciclo, o calor da fonte fria corresponde ao calor negativo, o que é verificado no processo III:

Q f = Q C → A = - 2800   J

Assim,

K = 2800 255 ≈ 11

E com isso nós finalizamos o problema 😉.

Resposta

V ' = 0,0164   m 3

Δ U A → B + Δ U B → C = 0

W = - 255   J

K ≈ 11

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