Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Ciclos

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Enunciado

Suponha que 0,240   m o l   n R = 2,00 J K de um gás ideal monoatômico ( γ = 5 3 ) descreva um ciclo de Carnot que opera com entre as temperaturas de 127 ° C   e   27,0 ° C de (ver figura). A pressão em A   é p A   =   1,00   x   10 6   P a . O volume V D é 2 vezes o volume V A .

  1. Calcule o volume nos pontos A ,   B ,   C   e   D   do diagrama p V   da figura.
  2. Determine o trabalho W   realizado, o calor Q recebido e a variação da energia interna Δ E i n t do gás, para cada processo e preencha a tabela (reproduza a tabela no caderno de respostas).
  3. O ciclo considerado descreve uma máquina térmica ou um refrigerador? Justifique.
  4. Calcule a eficiência (se for máquina), ou coeficiente de desempenho (se for refrigerador).
  5. Obtenha a variação de entropia do gás em cada etapa do ciclo e represente o ciclo num diagrama T   x   S (temperatura em função da entropia), identificando os estados A ,   B ,   C   e   D .

Passo 1

O primeiro passo a se fazer quando a gente tem um exercício com bastante informações é organizá-las de acordo com o que estamos querendo obter. Neste exercício temos informações o suficiente para obtermos o V A , então vamos calculá-lo pela equação de Clapeyron:

V A = n R T A p A = 0,240 × 8,32 × 400 K 1 × 10 6 = 0,8 × 10 - 3 m 3

Como V D = 2 × V A , temos que:

V D = 1,6 × 10 - 3 m 3

No processo adiabático, mostrado nos trechos a b e c d , vale a equação:

T b V b γ - 1 = T a V a γ - 1 e T d V d γ - 1 = T c V c γ - 1

Logo:

V B V A γ - 1 = V B V A 5 3 - 1 = V B V A 2 3 = T A T B

V B = T A T B 3 2 V A = 1,23 × 10 - 3 m 3

V C V D γ - 1 = V C V D 5 3 - 1 = V C V D 2 3 = T D T C

V C = T D T C 3 2 V D = 2,46 × 10 - 3 m 3

Passo 2

O cálculo do Trabalho, quantidade de calor e variação da energia interna, é basicamente aplicação das formulas da Primeira Lei, onde:

∆ E = Q - W ;

∆ E = n C V ∆ T ;

As isotermas para cálculos do trabalho são dadas por:

W = ∫ V i V f p d V = n R T ∫ d V V = n R T L n V f V i

Tá, mas e agora?

Agora, vamos calcular cada Q (J), W (J), ∆E (J) para cada trecho do ciclo.

Para o trecho a b :

Q a b = 0 , expansão adiabática;

W a b = 0,240 × 8,32 × 400 × L n 1,23 0,8 = 300 J

∆ E = 0 - 300 = - 300 J

Para o trecho b c :

W b c = n R T B L n V c V B = 0,240 × 8,32 × 300 × L n 2 = 416 J

Q = W , processo isotérmico

∆ E = 416 - 416 = 0 J

Para o trecho c d :

Q c d = 0 , expansão adiabática;

W c d = 0,240 × 8,32 × 400 × L n 1,60 2,43 = - 300 J

∆ E = 0 + 300 = + 300 J

Para o trecho d a :

W d a = n R T a l n V a V d = 0,240 × 8,32 × 400 × l n 1 / 2 = - 555 J

Q = W , processo isotérmico

∆ E = 555 - 555 = 0 J

No ciclo, podemos afirmar que ∆ E = 0 , pois a energia interna depende so de estado final e e inicial. Então conclui-se que Q c i c l o = W c i c l o .

Q C i c l o = Q t o t a l = 416 - 555 = - 139 J

Para nos organizarmos melhor, vamos fazer uma tabela, onde colocaremos os valores do trabalho, calor e variação da energia interna calculados acima:

Passo 3

O ciclo esquematizado descreve um refrigerador, já que retira calor do reservatório frio ( Q b c > 0 ) e cede calor ao reservatório quente ( Q d a < 0 ).

O coeficiente de desempenho pode ser calculado como:

ε = T F T Q - T F

T F = 300   K

T Q = 400   K

ε = 300 400 - 300

ε = 3

Passo 4

Pessoal, tanto no trecho a b e c d , a variação da entropia é dada por:

∆ S a b = ∆ S c d = 0 , pois são trechos adiabáticos.

No trecho b c :

∆ S b c = Q b c T b = 416 300 = 1,39   J / K

Analogamente para o trecho d a :

∆ S d a = Q d a T a = - 555 400 = - 1,39   J / K

Representando esquematicamente o exercício, temos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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