Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Ciclos

Origem do Exercício

Um mol de gás ideal formado por moléculas diatômicas (que giram, mas não oscilam) é submetido a um ciclo fechado que passa pelos estados A ,   B   e   C . O ciclo é composto pelas três etapas descritas abaixo.

A → B : Expansão adiabática com trabalho realizado W A B   =   4000   J .

B → C : Compressão isotérmica a uma temperatura T   =   300   K .

C → A : Aumento de pressão a volume constante até voltar ao estado inicial.

a)Esboce as três etapas do ciclo em um diagrama P x V . .

b)Determine a temperatura do sistema no estado A (ou seja, imediatamente antes da expansão adiabática). Use R   =   8   J / K .

c)Calcule a eficiência de uma máquina térmica operando segundo esse ciclo. [Dica: utilize a relação entre as temperaturas e os volumes final e inicial em um processo adiabático para obter a razão entre os volumes envolvidos no ciclo e use a aproximação ln ⁡ 0,6 ≈ - 0,5 .

Passo 1

  1. Temos uma expansão adiabática, uma isotérmica e uma isovolumétrica. Assim, teremos duas curvas e uma reta inclinada( V = c t e ) :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Como a transformação é adiabática, podemos dizer que:

∆ U = Q - W

Q = 0

∆ U = - W

Só que ∆ U é dado por:

∆ U = n c v ( T B - T A )

Quanto vale c v ? Como é um gás diatômico:

c v = 5 2 R

Assim:

5 n R 2 T B - T A = - W

Quanto vale T B ? Como ocorre uma transformação isotérmica envolvendo B , a temperatura será:

T B = 300 K

Assim:

5.1 . 8 2 300 - T A = - 4000

20 T A - 300 = 4000 → T A - 300 = 200 → T A = 500 K

Passo 3

c)

Precisamos calcular os calores trocados pelo sistema. Primeiro, vamos calcular no processo C A :

Q C A = n c v T A - T c = 5 n R 2 500 - 300 = 4000 J

E o calor B C ?

Como o processo é isotérmico: ∆ U = 0 :

Q = W

Assim:

Q B C = ∫ P d V

Podemos chamar P de:

P = n R T V

Assim:

Q B C = ∫ n R T V d V = n R T l n V f V i = n R T l n V C V B

Como V c = V A ( eles estão unidos por uma isovolumétrica) então:

Q B C = n R T B l n V A V B

Mas qual a relação entre os volumes final e inicial? Bom, eles estão conectados por uma adiabática, certo? Então podemos usar:

T A V A γ - 1 = T B V B γ - 1

V A V B = T B T A 1 γ - 1

Assim:

Q B C = n R T B l n T B T A 1 γ - 1 = n . R T B γ - 1 ln ⁡ T B T A

Como o gás é diatômico:

γ = 7 5 = 1,4

Assim:

Q B C = 1.8 . ( 300 ) 1,4 - 1 ln ⁡ 300 500 = 1,8 0,4 300 ln ⁡ 0,6 = - 3000 J

Passo 4

O calor trocado com a fonte quente é o calor positivo:

Q H = 4000

E o rocado com a fonte fria o calor negativo:

Q F = - 3000

Assim, a eficiência será:

e = 1 - Q F Q H = 1 - 3000 4000 = 0,25 = 25 %

Resposta

a)

b)

T A = 500 K

c)

e = 25 %

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