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Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Ciclos

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Enunciado

Um mol de um gás ideal ( c v =   3 R / 2 ) é submetido a um ciclo termodinâmico reversível, como mostra a figura ao lado. No processo não especificado ab, a variação de energia interna vale 2 p 0 V 0 e o calor absorvido neste tempo é de 9 p 0 V 0 . Determine:

a) O trabalho realizado no ciclo.

b) A eficiência do ciclo.

c) A variação de entropia do gás no processo ca em termos de R. Analisando sua resposta, explique a validade da segunda lei da termodinâmica usando o conceito de subsistemas em processos reversíveis.

Passo 1

a) Vamos aplicar a 1ᵃ Lei da Termodinâmica no processo ab:

∆ U a b = Q a b - W a b

2 p 0 V 0 = 9 p 0 V 0 - W a b

W a b = 7 p 0 V 0

O trabalho total no ciclo vai ser:

W T = W a b + W b c + W c a

E do gráfico conseguimos ver que:

W b c = 0

E:

W c a = W c b + W b a

W c a = 0 + W b a

O trabalho em ba podemos calcular pela área do gráfico:

W b a = - p 0 V 0

Então:

W c a = - p 0 V 0

O trabalho total então vai ser:

W T = 7 p 0 V 0 + 0 - p 0 V 0

W T = 6 p 0 V 0

Passo 2

b) O único processo que o ciclo recebe calor é o ab! Então o rendimento vai ser:

η = W T Q a b

η = 6 p 0 V 0 9 p 0 V 0

η = 2 3

Passo 3

c) Aqui vamos usar a 1ᵃ Lei da Termodinâmica na forma infinitesimal:

d U c a = d Q c a - d W c a

d Q c a = d U c a + d W c a

Como:

∆ S c a = ∫ c a d Q c a T

∆ S c a = ∫ c a d U c a T + ∫ c a d W c a T

∆ S c a = ∫ c a 3 n R d T 2 T + ∫ c a p d V T

∆ S c a = 3 R 2 ∫ c a d T T + ∫ c a p d V T

Passo 4

Como:

p V = n R T

p T = n R V

p T = R V

Vamos trocar na segunda integral:

∆ S c a = 3 R 2 ∫ c a d T T + ∫ c a R d V V

∆ S c a = 3 R 2 ln ⁡ V a V c + R ln ⁡ T a T c

E podemos usar p V = n R T pra achar a relação entre os volumes e as temperaturas:

T A T C = V A V C = 1 2

E trocando:

∆ S c a = 3 R 2 ln ⁡ 1 2 + R ln ⁡ 1 2

∆ S c a = 5 R 2 ln ⁡ 1 2

∆ S c a = - 5 R 2 ln ⁡ 2

De acordo com a 2ᵃ Lei da Termodinâmica, a variação de entropia sempre deve ser maior ou igual a zero. Aqui tá dando um número negativo! Isso acontece porque o nosso gás é só um subsistema de um sistema grandão. Nos outros subsistemas, ou seja: nas vizinhanças do gás, a variação de entropia vai ser positiva. E aí a variação de entropia total, somada com a do gás, vai dar zero. Como deve ser em um processo REVERSÍVEL.

Resposta

a) W T = 6 p 0 V 0

b) η = 2 3

c) ∆ S c a = - 5 R 2 ln ⁡ 2

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